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2024-2025学年上海市静安区新中高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年上海市静安区新中高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA. ax+by+czB. az+by+cxC. ay+bz+cxD. ay+bx+cz
2.设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为M和N，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=N”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
3.若集合{2,x,y}=集合{1,2,3}，则满足条件的x，y的解集为______．
4.已知集合A满足若n∈A且n∈Z，则1n∈A，小张同学迅速得出3个结论：(1)0∉A；(2)集合A不可能是单元素集；(3)当n取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为______．
5.已知集合A={1,2}，B={x|2x5−4x3+x2+6x+7=0}，则A∩B=______．
6.某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购______张车票．
7.如韦恩图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是______.(请用各集合的交，并，补表示)
8.若一元二次方程x2−4x+1=0的两根分别为a，b，则a2−2a+a(b−2)−2025= ______．
9.集合M={x|x+ax2−1=1}有且仅有2个子集，则a的取值集合为______．
10.若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足1a+1b=2c，则称a，b，c是调和的；若满足a+c=2b，则称a，b，c是等差的.已知集合M={x|−2024≤x≤2024,x∈Z}，集合P是M的三元子集，即P={a,b,c}⊆M.若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“新中集”.不同的“新中集”的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)
已知关于x的不等式ax−5x−a≤0的解集为M．
(1)当a=4时，求集合M；
(2)若5∉M，求实数a的取值范围．
12.(本小题8分)
网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．
13.(本小题8分)
已知集合A={x|nx2−mx+5m2−6=0}≠⌀，集合B={x|10}，若A∩B=A，设m的取值集合为D，若C∩D=⌀，求：m的值及其对应a的取值范围．
14.(本小题13分)
利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题．
(1)求证： 3是无理数．
(2)
①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x=m2−n2,m,n∈Z}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，C={x|3x−123x−96≤0,x∈Z}.
(1)试判断：0，1234是否属于集合A，并说明理由；
(2)试判断：A与B的包含关系并说明理由；
(3)求：A∩C．
参考答案
1.B
2.D
3.{(x=1,y=3)，(x=3,y=1)}
4.(1)(3)
5.⌀
6.27
7.(M∩P)∩(∁IS)
8.−2025
9.{−54,−1,1}
10.1012
11.解：(1)当a=4时，4x−5x−4≤0，则，解得54≤x<4，
故集合M=[54,4)．
(2)当5∉M，
若分母5−a=0，a=5，
若分母不为0，则将x=5代入不等式左边得5a−55−a>0，
即(5a−5)(5−a)>0，解得1综上，实数a的取值范围是(1,5]．
12.解：(1)从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．
∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100−60−43+8=5，
利用样本数据估计该校学生中，
移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人．
(2)样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁，
现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，
基本事件总数n=C52=10，
这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m=C32=3，
∴这2名学生都坐过高铁的概率P=mn=310．
13.解：由题可知，B={2,3}，
当a=0时，C=R，
此时C∩D=D≠⌀，不合题意，故a≠0，
由于由A∩B=A得，A⊆B，
①若n=0，若m=0，则A=⌀，不合题意，
所以m≠0，则x=5m−122m，
当5m−122m=2时，解得m=12，
此时D={12}，
又因为C∩D=⌀，所以a⋅12+3≤0，
解得a≤−14；
当5m−122m=3时，解得m=−12，
此时D={−12}，
又因为C∩D=⌀，所以a⋅(−12)+3≤0，
解得a≥14；
②若n≠0，Δ=0时，m2−4n(5m2−6)=0，
当2∈A时，4n−2m+5m2−6=0，联立解得n=1m=4，
此时D={4}，
又因为C∩D=⌀，则4a+3≤0，
解得a≤−34；
当3∈A时，9n−3m+5m2−6=0，联立解得n=1m=6，
此时D={6}，
又因为C∩D=⌀，所以6a+3≤0，
解得a≤−12；
③若n≠0，Δ>0时，即m2−4n(5m2−6)>0，
由A∩B=A得，A=B，
由根与系数关系得，mn=552m−6n=6，解得n=1213m=6013，
此时D={6013}，
Δ=(6013)2−4×1213×(5×60132−6)>0，符合题意，
又因为C∩D=⌀，所以6013a+3≤0，
解得a≤−1320，
综上所述，当n=0，m=12，则a∈(−∞,−14]；当n=0，m=−12，则a∈[14,+∞)；当n=1，m=4，则a∈(−∞,−34]；当n=1，m=6，则a∈(−∞,−12]；当n=1213,m=6013，则a∈(−∞,−1320]．
14.证明：(1)假设 3是有理数，那么它可以表示成qp(p,q是互质的两个正整数)，
所以(qp)2=3，所以q2=3p2，即q2是3的倍数，所以q是3的倍数，
所以可设q=3m，所以(3m)2=3p2，所以p2=3m2，
所以p2是3的倍数，所以p是3的倍数，
这与“p，q是互质的两个正整数”相矛盾，所以假设不成立，故 3是无理数．
(2)①：假设三角形的内角和不等于180°，即∠A+∠B+∠C≠180°，
过点A作DE//BC，则∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
因为∠A+∠B+∠C≠180°，所以∠A+∠DAB+∠EAC≠180°，
即∠DAE≠180°，这与∠DAE是平角相矛盾，
故假设不成立，所以三角形的内角和等于180°．
②：假设三角形至少有一个内角大于等于60°不成立，即三角形三个内角都小于60°，
则可得∠A+∠B+∠C<180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，
所以假设不成立，所以三角形至少有一个内角大于等于60°．
15.解：(1)根据题意，对于集合A，x=m2−n2=(m+n)(m−n)，
又由m，n∈Z，
若m、n一个是奇数，一个是偶数，则m+n、m−n都是奇数，则x为奇数，
若m、n都是奇数或都是偶数，则x为4的倍数，
故集合A中的元素要么为奇数，要么为4的倍数，
对于0，是4的倍数，则0∈A，
对于1234，由于1234=2×617，既不是奇数也不是4的倍数，则1024∉A；
(2)根据题意，若x∈B，则x=k+1=(k+1)2−k2，必有x∈A，
反之，若x∈A，不一定有x∈B，如x=1234，
故B⊂A；
(3)根据题意，3x−123x−96≤0，即x−4x−32≤0⇔(x−4)(x−32)≤0且x≠32，
解可得4≤x<32，
则C={x∈Z|4≤x<32}，
又由A={x|x=m2−n2,m,n∈Z}，
则A∩C={4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,27,28,29,31}．
1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x
2.设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为M和N，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=N”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
3.若集合{2,x,y}=集合{1,2,3}，则满足条件的x，y的解集为______．
4.已知集合A满足若n∈A且n∈Z，则1n∈A，小张同学迅速得出3个结论：(1)0∉A；(2)集合A不可能是单元素集；(3)当n取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为______．
5.已知集合A={1,2}，B={x|2x5−4x3+x2+6x+7=0}，则A∩B=______．
6.某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购______张车票．
7.如韦恩图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是______.(请用各集合的交，并，补表示)
8.若一元二次方程x2−4x+1=0的两根分别为a，b，则a2−2a+a(b−2)−2025= ______．
9.集合M={x|x+ax2−1=1}有且仅有2个子集，则a的取值集合为______．
10.若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足1a+1b=2c，则称a，b，c是调和的；若满足a+c=2b，则称a，b，c是等差的.已知集合M={x|−2024≤x≤2024,x∈Z}，集合P是M的三元子集，即P={a,b,c}⊆M.若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“新中集”.不同的“新中集”的个数为______．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)
已知关于x的不等式ax−5x−a≤0的解集为M．
(1)当a=4时，求集合M；
(2)若5∉M，求实数a的取值范围．
12.(本小题8分)
网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．
13.(本小题8分)
已知集合A={x|nx2−mx+5m2−6=0}≠⌀，集合B={x|1
14.(本小题13分)
利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题．
(1)求证： 3是无理数．
(2)
①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x=m2−n2,m,n∈Z}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，C={x|3x−123x−96≤0,x∈Z}.
(1)试判断：0，1234是否属于集合A，并说明理由；
(2)试判断：A与B的包含关系并说明理由；
(3)求：A∩C．
参考答案
1.B
2.D
3.{(x=1,y=3)，(x=3,y=1)}
4.(1)(3)
5.⌀
6.27
7.(M∩P)∩(∁IS)
8.−2025
9.{−54,−1,1}
10.1012
11.解：(1)当a=4时，4x−5x−4≤0，则，解得54≤x<4，
故集合M=[54,4)．
(2)当5∉M，
若分母5−a=0，a=5，
若分母不为0，则将x=5代入不等式左边得5a−55−a>0，
即(5a−5)(5−a)>0，解得1
12.解：(1)从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．
∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100−60−43+8=5，
利用样本数据估计该校学生中，
移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人．
(2)样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁，
现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，
基本事件总数n=C52=10，
这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m=C32=3，
∴这2名学生都坐过高铁的概率P=mn=310．
13.解：由题可知，B={2,3}，
当a=0时，C=R，
此时C∩D=D≠⌀，不合题意，故a≠0，
由于由A∩B=A得，A⊆B，
①若n=0，若m=0，则A=⌀，不合题意，
所以m≠0，则x=5m−122m，
当5m−122m=2时，解得m=12，
此时D={12}，
又因为C∩D=⌀，所以a⋅12+3≤0，
解得a≤−14；
当5m−122m=3时，解得m=−12，
此时D={−12}，
又因为C∩D=⌀，所以a⋅(−12)+3≤0，
解得a≥14；
②若n≠0，Δ=0时，m2−4n(5m2−6)=0，
当2∈A时，4n−2m+5m2−6=0，联立解得n=1m=4，
此时D={4}，
又因为C∩D=⌀，则4a+3≤0，
解得a≤−34；
当3∈A时，9n−3m+5m2−6=0，联立解得n=1m=6，
此时D={6}，
又因为C∩D=⌀，所以6a+3≤0，
解得a≤−12；
③若n≠0，Δ>0时，即m2−4n(5m2−6)>0，
由A∩B=A得，A=B，
由根与系数关系得，mn=552m−6n=6，解得n=1213m=6013，
此时D={6013}，
Δ=(6013)2−4×1213×(5×60132−6)>0，符合题意，
又因为C∩D=⌀，所以6013a+3≤0，
解得a≤−1320，
综上所述，当n=0，m=12，则a∈(−∞,−14]；当n=0，m=−12，则a∈[14,+∞)；当n=1，m=4，则a∈(−∞,−34]；当n=1，m=6，则a∈(−∞,−12]；当n=1213,m=6013，则a∈(−∞,−1320]．
14.证明：(1)假设 3是有理数，那么它可以表示成qp(p,q是互质的两个正整数)，
所以(qp)2=3，所以q2=3p2，即q2是3的倍数，所以q是3的倍数，
所以可设q=3m，所以(3m)2=3p2，所以p2=3m2，
所以p2是3的倍数，所以p是3的倍数，
这与“p，q是互质的两个正整数”相矛盾，所以假设不成立，故 3是无理数．
(2)①：假设三角形的内角和不等于180°，即∠A+∠B+∠C≠180°，
过点A作DE//BC，则∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
因为∠A+∠B+∠C≠180°，所以∠A+∠DAB+∠EAC≠180°，
即∠DAE≠180°，这与∠DAE是平角相矛盾，
故假设不成立，所以三角形的内角和等于180°．
②：假设三角形至少有一个内角大于等于60°不成立，即三角形三个内角都小于60°，
则可得∠A+∠B+∠C<180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，
所以假设不成立，所以三角形至少有一个内角大于等于60°．
15.解：(1)根据题意，对于集合A，x=m2−n2=(m+n)(m−n)，
又由m，n∈Z，
若m、n一个是奇数，一个是偶数，则m+n、m−n都是奇数，则x为奇数，
若m、n都是奇数或都是偶数，则x为4的倍数，
故集合A中的元素要么为奇数，要么为4的倍数，
对于0，是4的倍数，则0∈A，
对于1234，由于1234=2×617，既不是奇数也不是4的倍数，则1024∉A；
(2)根据题意，若x∈B，则x=k+1=(k+1)2−k2，必有x∈A，
反之，若x∈A，不一定有x∈B，如x=1234，
故B⊂A；
(3)根据题意，3x−123x−96≤0，即x−4x−32≤0⇔(x−4)(x−32)≤0且x≠32，
解可得4≤x<32，
则C={x∈Z|4≤x<32}，
又由A={x|x=m2−n2,m,n∈Z}，
则A∩C={4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,27,28,29,31}．
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