2024-2025学年山西省长治市高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省长治市高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|(x−1)(x+2)<0}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}
2.已知复数z=41−i，其中i为虚数单位，则z=( )
A. 2+2iB. −2+2iC. 2−2iD. −2−2i
3.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. y=1xB. y=−x|x|C. y=ex−e−xD. y=−lnx
4.已知下列四个命题：
p1：设直线a是平面α外的一条直线，若直线a不平行于平面α，则α内不存在与a平行的直线．
p2：过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．
p3：如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．
p4：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．
其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.(x+2y)(x−y)5的展开式中的x3y3项系数为( )
A. 30B. 10C. −30D. −10
6.平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态.若|F1|=1N,|F2|= 6− 22N,F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为( )
A. − 6+ 24B. 6+ 24C. − 6− 24D. 6− 24
7.若直线l与曲线y= x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为( )
A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1D. y=12x+12
8.已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.当△ADP的面积取最大值时，AB的长度为( )
A. 3B. 3 2C. 3 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )
A. f(x)=3sin(2x−π3)
B. f(x)的图像关于点(kπ2+π6,0)(k∈Z)对称
C. f(x)的图像关于直线x=kπ2+5π12(k∈Z)对称
D. 函数f(x+π6)为偶函数
10.已知a，b∈R，有一组样本数据为2+a，3，6−b，7−a，8，10，11+b，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则( )
A. 平均数不变B. 中位数不变C. 方差不变D. 极差不变
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A. 直线AC1⊥平面A1BD
B. 棱CC1与平面A1BD所成角的正切值为 2
C. 若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
D. 若D1Q= 62，那么Q点的轨迹长度为 24π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S3=18，则S6= ______．
13.已知抛物线y2=4 13x,F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若∠F1F2A=π3，则b= ______．
14.已知实数x1，x2满足x1ex1=e3，x2(lnx2−2)=e5，则x1x2=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．
(1)求A的大小；
(2)求csB+2csC的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点．
(1)求证：平面MAC⊥平面MBC；
(2)若AB=2，AC=1，MA=2，求二面角C−MB−A的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx−2x，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当a=2时，证明：f(x−1)≤4x−10．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，且该椭圆过点(2 3, 3)，直线l交椭圆E于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为(1,−1)，求直线l的方程；
(3)若直线l方程为y=k(x−3)(k≠0)，过A、B作直线m：x=6的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形．
19.(本小题17分)
某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ近似为样本标准差s．
(i)利用该正态分布，求P(250.25(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973．
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都是12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(n,0)的概率为Pn(1≤n≤60)，试证明数列{Pn−Pn−1}是等比数列(2≤n≤59)，求出数列{Pn}(1≤n≤60)的通项公式，并比较P59和P60的大小．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.B
5.B
6.A
7.D
8.B
9.ABC
10.AD
11.ACD
12.81
13.2 3
14.
15.解：(1)由2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC及正弦定理得，2a2=(2b−c)b+(2c−b)c，
整理得bc=b2+c2−a2，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=12，
∵A∈(0,π2)，∴A=π3．
(2)∵△ABC为锐角三角形，且A=π3，
∴0∴csB+2csC=−cs(π3+C)+2csC=32csC+ 32sinC= 3sin(C+π3)，
由π6∴12∴ 32< 3sin(C+π3)< 3，
故csB+csC的取值范围为( 32, 3)．
16.(1)证明：∵MA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MA⊥BC，
∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，
∵MA∩AC=A，MA、AC⊂平面MAC，∴BC⊥平面MAC，
∵BC⊂平面MBC，∴平面MAC⊥平面MBC；
(2)解：法一：如图，建立空间直角坐标系C−xyz，

则C(0,0,0),A(0,1,0),B( 3,0,0),M(0,1,2)，
CB=( 3,0,0),BM=(− 3,1,2),AM=(0,0,2)，
设平面CMB的法向量m=(x1,y1,z1)，
则由m⋅CB=0m⋅BM=0，可得 3x1=0− 3x1+y1+2z1=0，
令z1=1，得y1=−2,m=(0,−2,1)，
设平面AMB的法向量n=(x2,y2,z2)，
则有2z2=0− 3x2+y2+2z2=0，令x2=1，得y2= 3,n=(1, 3,0)，
则cs=m⋅n|m||n|=− 155， 1−(− 155)2= 105，
二面角C−MB−A的正弦值为 105．
法二：作CD⊥AB于D，作CE⊥MB于E，连接DE，

∵MA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴MA⊥CD，
∵CD⊥AB，AB、MA⊂平面MAB，∴CD⊥平面MAB，
∵M B⊂平面MAB，∴CD⊥MB，
又∵CE⊥MB，CE、CD⊂平面CDE，∴MB⊥平面CDE，
∵DE⊂平面CDE，∴MB⊥DE，
∴∠CED为二面角C−MB−A的平面角，
BC= AB2−AC2= 3,CD=CA⋅CBAB= 32，
∵MA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴MA⊥AC，MC= MA2+AC2= 5，
∵BC⊥平面MAC，MC⊂平面MAC，∴BC⊥MC，
MB= MC2+BC2=2 2,CE=CM⋅CBMB= 304，
则sin∠CED=CDCE= 105，
二面角C−MB−A的正弦值为 105．
17.解：(1)f′(x)=ax+2x2，
由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直得，
f′(1)=a+2=2，a=0．
(2)f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)=ax+2x2，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上是增函数；
当a<0时，由f′(x)=0，得x=−2a．
当x∈(0,−2a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(−2a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
综上：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数；
当a<0时，f(x)在(0,−2a)单调递增，f(x)在(−2a,+∞)单调递减．
证明：(3)当a=2时，f(x−1)=2ln(x−1)−2x−1，
令g(x)=f(x−1)−4x+10=2ln(x−1)−2x−1−4x+10，x>1．
g′(x)=2x−1+2(x−1)2−4=−2(2x−1)(x−2)(x−1)2，
当x∈(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
g(x)≤g(2)=0，∴f(x−1)≤4x−10．
18.(1)解：由题得a2=b2+9，
将(2 3, 3)代入x2b2+9+y2b2=1得：12b2+9+3b2=1，
即b4−6b2−27=(b2−9)(b2+3)=0，
则b2=9，a2=18，
椭圆E的方程为x218+y29=1．
(2)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1218+y129=1,x2218+y229=1，
且x1+x22=1,y1+y22=−1，
两式相减得：x12−x2218=−y12−y229，
可得y1−y2x1−x2=9(x1+x2)−18(y1+y2)=12，
则直线l的方程为y+1=12(x−1)，
即x−2y−3=0．
(3)证明：联立y=k(x−3)x218+y29=1，
得(1+2k2)x2−12k2x+18k2−18=0，
则x1+x2=12k21+2k2,x1x2=18k2−181+2k2，且Δ>0，
则kAR−kFQ=y1+y22−y16−x1−y23=−9y22−3y12+y2x13(6−x1)=−9k(x2−3)2−3k(x1−3)2+k(x2−3)x13(6−x1)
=k[−92(x1+x2)+x1x2+18]3(6−x1)=k(−54k21+2k2+18k2−181+2k2+18+36k21+2k2)3(6−x1)=0，
所以AR/​/FQ，
又直线AB的斜率存在且不为0，AF与RQ不平行，
所以四边形ARQF为梯形．
19.解：(1)x−≈205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300．
(2)(i)P(250.25(ii)∵Z服从二项分布B(20,0.8186)，
∴E(Z)=20×0.8186=16.372．
(3)当3≤n≤59时，Pn=12Pn−1+12Pn−2，Pn−Pn−1=−12(Pn−1−Pn−2)，
P1=12，P2=12×12+12=34，P2−P1=14，
∴{Pn−Pn−1}(2≤n≤59)是以14为首项，−12为公比的等比数列，
Pn−Pn−1=14⋅(−12)n−2(2≤n≤59)，
P2−P1=14，P3−P2=14⋅(−12)，…，Pn−Pn−1=14⋅(−12)n−2(2≤n≤59)，
累加得：
Pn−P1=14(1−(−12)n−1)1+12，Pn=23−16⋅(−12)n−1(2≤n≤59)，
P60=12P58=13+16⋅(12)58，
∴Pn=23−16(−12)n−1,1≤n≤5913+16⋅(12)58,n=60，
∵P59−P60=13−13×(12)58=13(1−(12)58)>0，
∴P59>P60．