2024-2025学年天津市武清区天和城实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市武清区天和城实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2−2x−2<0}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {1,2,3}D. ⌀
2.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边经过点P(1,2)，则sinα=( )
A. 2 55B. 55C. 2D. 12
3.将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)的图象，则“φ=3π8”是“函数g(x)为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=|a−b|=2，则|a+b|=( )
A. 6B. 5C. 2D. 1
5.△OAB，点P在边AB上，AB=3AP，设OA=a,OB=b，则OP=( )
A. 13a+23b
B. 23a+13b
C. 13a−23b
D. 23a−13b
6.设a=lg20.3，b=lg120.4，c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a7.在等差数列{an}中，a2=4，且a1，a3，a9构成等比数列，则公差d=( )
A. 0或2B. 2C. 0D. 0或−2
8.若函数f(x)=lnx+x2−ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,2 2]C. (−∞,2]D. [1,+∞)
9.已知函数f(x)=2ax3−3x2+b在x=1处取得极小值1，则f(x)在区间[−1,2]上的最大值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数z满足(3+4i)⋅z=7+i，则z对应的点位于第______象限．
11.a=(1,2),b=(3,5)，向量a在b方向上的投影______．
12.已知a=(−2,−1)，b=(λ,1)，若a和b的夹角为钝角，则λ的取值范围是______．
13.在△ABC中，已知AB=3，AC=2，∠BAC=120°，D为边BC的中点．若BE⊥AD，垂足为E，则BE⋅AC的值为______．
14.已知函数f(x)= 3sin2x−cs2x，若将f(x)的图象向左平行移动π6个单位长度后得到g(x)的图象，则把y=2cs2x的图象向右至少平行移动______个单位可得到g(x)的图象．
15.已知函数f(x)=( 3sinx+csx)csx.下列结论正确的是______．
①f(x)的一个对称中心为(5π12,0)；
②f(π6)是f(x)的最大值；
③f(x)在[−π3,π6]上单调递增；
④把函数y=cs2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后，再向上平移12个单位长度，可得到f(x)的图象．
三、解答题：本题共7小题，共99分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知a=(1,2),b=(3,5)．
(1)若(ka+b)//(2a−4b)，求k；
(2)若(ka+b)⊥(2a−4b)，求k．
17.(本小题12分)
如图所示，在▱ABCD中，AB=a，AD=b，BM=23BC，AN=14AB.试用向量a,b来表示DN,AM．
18.(本小题15分)
设函数f(x)=csx⋅sin(x+π3)− 3cs2x+ 34，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[−π6,π4]上的值域．
19.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a− 3c)csB= 3bcsC．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若c= 3，a+b=2，求△ABC的面积；
(Ⅲ)若b= 2a，求sin(2A+B)．
20.(本小题15分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−7x+6lnx+10．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)求f(x)的单调区间和极小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−x3+3x2+9x−2，求：
(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)f(x)的单调递减区间；
(3)求f(x)的极大值和极小值．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.A
5.B
6.D
7.A
8.B
9.C
10.四
11.13 3434
12.λ>−12且λ≠2
13.277
14.π6
15.②③④
16.解：(1)因为a=(1,2),b=(3,5)，
所以ka+b=(k,2k)+(3,5)=(k+3,2k+5)，
2a−4b=(2,4)−(12,20)=(−10,−16)，
而(ka+b)//(2a−4b)，
则−16(k+3)=−10(2k+5)，
解得k=−12；
(2)由(1)知，ka+b=(k+3,2k+5)，2a−4b=(−10,−16)，
由(ka+b)⊥(2a−4b)，
得(ka+b)⋅(2a−4b)=−10(k+3)−16(2k+5)=0，
所以k=−5521．
17.解：因为在▱ABCD中，AB=a，AD=b，BM=23BC，AN=14AB，
所以DN=AN−AD=14AB−AD=14a−b，
AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23AD=a+23b．
18.解：(1)函数f(x)=csx⋅sin(x+π3)− 3cs2x+ 34，
=csx(12sinx+ 32csx)− 3cs2x+ 34
=14sin2x− 32cs2x+ 34，
=14sin2x− 32(1+cs2x2)+ 34，
=12(sin2x⋅12−cs2x⋅ 32)，
=12sin(2x−π3)．
所以函数的最小正周期为T=2π2=π．
令2x−π3=kπ，解得x=kπ2+π6(k∈Z)．
所以函数的对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z)
(2)函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)=12sin(2x+π2−π3)=12sin(2x+π6)的图象．
由于x∈[−π6,π4]，
所以2x+π6∈[−π6,2π3]，
故−12≤sin(2x+π6)≤1．
所以：g(x)∈[−14,12]
19.解：(Ⅰ)由正弦定理得：(2sinA− 3sinC)csB= 3sinBcsC，
可得2sinAcsB= 3sinCcsB+ 3sinBcsC= 3sin(B+C)= 3sinA，
显然sinA≠0，
则csB= 32，
又B∈(0,π)，
故B=π6；
(Ⅱ)∵B=π6，c= 3，
∴由余弦定理可得csB=a2+3−b22×a× 3= 32，整理可得a2−b2+3=3a，
又a+b=2，解得a=b=1，
∴SΔABC=12acsinB=12×1× 3×12= 34；
(Ⅲ)由正弦定理得：sinB= 2sinA，
则sinA=sinB 2=12 2= 24，
∵b= 2a，即b>a，
则B>A，
故A为锐角，csA= 1−sin2A= 1−( 24)2= 144，
∴sin2A=2sinAcsA=2× 24× 144= 74，
cs2A=2cs2A−1=2×( 144)2−1=34，
∴sin(2A+B)=sin2Acsπ6+cs2Asinπ6= 74× 32+34×12= 21+38．
20.解：(1)在等差数列中，∵a2=11，S10=40．
∴a1+d=1110a1+10×92d=40，即a1+d=11a1+92d=4，
得a1=13，d=−2，
则an=13−2(n−1)=−2n+15(n∈N⋅).
(2)|an|=|−2n+15|=−2n+15,1≤n≤72n−15,n≥8，
即1≤n≤7时，|an|=an，
当n≥8时，|an|=−an，
当1≤n≤7时，数列{|an|}的前n项和Tn=a1+⋯+an=13n+n(n−1)2×(−2)=−n2+14n，
当n≥8时，数列{|an|}的前n项和Tn=a1+⋯+a7−⋯−an=−Sn+2(a1+⋯+a7)=−[13n+n(n−1)2×(−2)]+2×13+12×7=n2−14n+98．
21.解：(1)因为f(x)=x2−7x+6lnx+10，定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=2x−7+6x=2x2−7x+6x=(2x−3)(x−2)x，
所以f′(1)=1，又f(1)=4，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+3，
切线在x轴上的截距为−3，在y轴上的截距为3，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×3×3=92．
(2)令f′(x)=0，解得x=32或x=2，
令f′(x)<0，解得320，解得02，
所以f(x)在(32,2)上单调递减，在(0,32)和(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=2出取得极小值，极小值为f(2)=6ln2．
综上所述，f(x)单调递增区间为(0,32)和(2,+∞)，单调递减期间为(32,2)，极小值为6ln2．
22.解：(1)由题意得：f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x2−2x−3)=−3(x−3)(x+1)，
∴f′(0)=9，又f(0)=−2，
∴y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+2=9(x−0)，即9x−y−2=0．
(2)由(1)知：f′(x)=−3(x−3)(x+1)，
∴当x∈(−∞,−1)∪(3,+∞)时，f′(x)<0，
当x∈(−1,3)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)．
(3)根据(2)可知，当x=−1为函数f(x)的极小值点，且f(−1)=−7，
当x=3为函数f(x)的极大值点，且f(3)=25，
所以f(x)的极大值为25，极小值为−7．