2024-2025学年湖南省郴州市永兴县树德初级中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省郴州市永兴县树德初级中学九年级（上）入学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将方程x2=2x−3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别是( )
A. −2、3B. 2、3C. 2、−3D. −2、−3
2.下列方程没有实数根的是( )
A. x2+3x+2=0B. x2−5x=1C. 2x2−x−1=0D. x2+5=4x
3.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(−2,3)，则该函数的图象不经过的点是( )
A. (3,−2)B. (1,−6)C. (−1,6)D. (−1,−6)
4.用配方法解方程x2−6x−8=0时，配方结果正确的是( )
A. (x−3)2=17B. (x−3)2=14C. (x−6)2=44D. (x−3)2=1
5.如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为( )
A. 1B. 2C. 4D. 无法计算
6.下列方程中两根之和为6的是( )
A. x2−6x+10=0B. x2−12x+6=0C. 2x2−6x−3=0D. x2−6x=15
7.在同一直角坐标系中，函数y=−k(x−1)与y=kx(k≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设
墙的对边长为xm，可得方程( )
A. x(13−x)=20B. x⋅13−x2=20C. x(13−12x)=20D. x⋅13−2x2=20
9.若点(−1,y1)，(2,y2)，(3,y3)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y1>y3>y2D. y2>y3>y1
10.如图，A是双曲线y=kx(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且△ABD的面积是4，则k=( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.反比例函数y=k−1x的图象经过点P(−2,3)，则k=______．
12.如图，反比例函数y=kx(k<0)的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为(−2,1)，那么B点的坐标为______．
13.函数y=(m+1)x m2−2m−4是y关于x的反比例函数，则m=______．
14.方程x2=x的解是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=kx的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA=60°，则k的值是______．
16.如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=k2x的图象交于A(1,2)、B(−2,−1)两点，若y117.若α，β是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为______．
18.关于x的反比例函数y=a+4x的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB//y轴，AB//x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a−1)x2−x+14=0的根的情况是______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.已知反比例函数y=4−kx，分别根据下列条件求出字母k的取值范围：(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每一象限内，y随x的增大而增大．
20.已知关于x的一元二次方程：3x2+kx−2=0，
(1)若此方程有一个根为1，求另一个根及k的值．
(2)若k为任意实数，请判断此方程根的情况．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程：(1)2x2+1=3x．
(2)3(y−1)2=1−y．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程mx2+2(m+1)x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=8，求m的值．
23.(本小题8分)
我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售250件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
24.(本小题8分)
已知：如图，直线y=ax+b与双曲线y=kx(x>0)相交于点A(2,3)和点B(6,m)．
(1)求k和m的值．
(2)根据图象直接写出当x>0且ax+b>kx时，自变量x的取值范围．
(3)请问在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
已知：关于x的一元二次方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x=−1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值(k为整数)．
26.(本小题8分)
知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数y=kx上任意一点，则矩形ABOC的面积为|k|．

(1)初步尝试
如图2，点A，E分别在反比例函数y=2x和y=−4x的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，易知四边形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积．
(2)类比探究
如图3，点A，C在反比例函数y=ax(a>0)的图象上，点B，D在反比例函数y=bx(b<0)的图象上，AB//CD//x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，求a−b的值．
如图4，过A，B，C，D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E，F，G，H，设AB，CD分别与y轴交于N，M，显然四边形ANOE，BNOF，CMOG，DMOH均为矩形，且SANOE+SBNOF=SCMOG+SDMOH=a−b，可设CG为ℎ，则BF=5−ℎ，从而可得：2ℎ=3(5−ℎ)，…
请根据上述思路，写出完整的解题步骤．
(3)拓展延伸
如图5，已知反比例函数y=mx和y=nx，m>n>0，若点B，C在y=mx图象上，点A，D在y=nx图象上，且AB//CD//x轴，AB=53，CD=56，AB和CD间的距离为12，求m−n的值．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.C
10.C
11.−5
12.(2,−1)
13.3
14.x1=0，x2=1
15. 3
16.x<−2或017.2022
18.没有实数根
19.解：(1)∵函数图象位于第一、三象限，
∴4−k>0，
解得k<4；
(2)∵在每一象限内，y随x的增大而增大．
∴4−k<0，
解得k>4．
20.解：(1)设另一根为x1，
则1+x1=−k3，1⋅x1=−23，
解得，x1=−23，k=−1；
(2)∵△=b2−4ac=k2+24>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
21.解：(1)2x2+1=3x．
2x2−3x+1=0，
(x−1)(2x−1)=0，
∴x−1=0或2x−1=0，
∴x1=1，x2=12．
(2)3(y−1)2=1−y，
3(y−1)2+(y−1)=0．
(y−1)(3y−3+1)=0，
∴y−1=0或3y−3+1=0，
∴y1=1，y2=23．
22.解：(1)由题知，
[2(m+1)]2−4×m×(m−1)>0，
解得m>−13．
又m≠0，
所以m的取值范围是m>−13且m≠0．
(2)因为该方程有两个实数根分别为x1、x2，
所以x1+x2=−2m+2m，x1x2=m−1m．
又x12+x22=8，
即(x1+x2)2−2x1x2=8，
所以(−2m+2m)2−2×m−1m=8，
解得m1=2,m2=−13，
经检验m1=2,m2=−13是原方程的解．
又m>−13且m≠0，
所以m=2．
23.解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意得：250(1+x)2=360，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为20%；
(2)设商品降价y元，则每件商品的销售利润为(40−y−30)元，四月份的销售量为(360+6y)元，
根据题意得：(40−y−30)(360+6y)=1950，
整理得：y2+50y−275=0，
解得：y1=5，y2=−55(不符合题意，舍去)．
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
24.解：(1)∵双曲线y=kx(x>0)过点A(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
∵反比例函数图象过点B，
∴m=66=1；
(2)当ax+b>kx时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，
∵A(2,3)，B(6,1)，
∴当x>0且ax+b>kx时，自变量的取值范围为2(3)设C点坐标为(x,0)，
∴AC2=(x−2)2+32=x2−4x+13，BC2=(x−6)2+1=x2−12x+37，AB2=(6−2)2+(1−3)2=20，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°、∠ACB=90°或∠CAB=90°三种情况，
①当∠ABC=90°时，则有AB2+BC2=AC2，即20+x2−12x+37=x2−4x+13，解得x=112，
但此时BC2=(112)2−12×112+37=54≠20，即BC≠AB，故不符合题意；
②当∠ACB=90°时，则有AC2+BC2=AB2，即x2−12x+37+x2−4x+13=20，解得x=3或x=5，
当x=3时，x2−12x+37=10，x2−4x+13=10，即AC=BC，故符合题意；
当x=5时，x2−12x+37=2，x2−4x+13=18，即AC≠BC，故不符合题意；
∴C(3,0)；
③当∠CAB=90°时，则有AC2+AB2=BC2，即20+x2−4x+13=x2−12x+37，解得x=12，
此时AC2=(12)2−4×12+13=454≠20，即AC≠AB，故不符合题意；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为(3,0)．
25.(1)证明：当k≠0时，
∵方程kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴△=(4k−3)2−4k(3k−3)=4k2−12k+9=(2k−3)2，
∴△=(2k−3)2≥0，
当k=0时，3x−3=0，
解得x=1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
(2)把x=−1代入方程得k+4k−3+3k−3=0，
解得k=34．
故k的值34；
(3)解：kx2−(4k−3)x+3k−3=0，
∴a=k，b=−(4k−3)，c=3k−3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x=−b± b2−4ac2a=(4k−3)± (2k−3)22k，
∴此方程的两个根分别为x1=1，x2=3−3k，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k=−3，k=−1，k=3．
26.解：(1)∵点A，E分别在反比例函数y=2x和y=−4x的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，
∴S矩形ABOC=2，S矩形BEFO=4，
∴S矩形AEFC=2+4=6；
(2)如图4，过A，B，C，D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E，F，G，H，设AB，CD分别与y轴交于N，M，

∴四边形ANOE，BNOF，CMOG，DMOH均为矩形，且S矩形ANOE+S矩形BNOF=S矩形CMOG+S矩形DMOH=a−b，
∴AB⋅BF=CD⋅CG，
设CG为ℎ，而AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，
∴BF=5−ℎ，
∴2ℎ=3(5−ℎ)，
解得：ℎ=3，
∴S矩形CMOG+S矩形DMOH=a−b=2×3=6；
(3)分别延长BA，CD交y轴于M，N，过点A，B，C，D作AE，BF，CG，DH⊥x轴于点E，F，G，H，则四边形AMOE，BMOF，DNOH，CNOG都为矩形，且S矩形AMOE=n，S矩形BMOF=m，S矩形DNOH=n，S矩形CNOG=m，
设AE=ℎ，
如图5，

当CD在AB的上方时，而AB//CD//x轴，AB和CD间的距离为12，
∴DH=ℎ+12，
∵AB=53，CD=56，
∴m−n=53ℎm−n=56(ℎ+12)，
解得：m−n=20ℎ=12，
如图6，当CD在AB的下方时，而AB//CD//x轴，AB和CD间的距离为12，

∴CG=12−ℎ，
同理可得：m−n=53ℎm−n=56(12−ℎ)，
解得：m−n=203ℎ=4，
综上：m−n=20或203．