2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 身高是一个向量
B. 温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C. 有向线段由方向和长度两个要素确定
D. 有向线段MN和有向线段NM的长度相等
2.若复数z满足(1−i)z=2i，则z⋅z−=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
3.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
5.“直线l⊥AB，l⊥AC”是“直线l⊥BC”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
6.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B′到x轴的距离是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
7.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=2π3，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面积为4 3，则sin∠ABD=( )
A. 15− 38B. 15+ 38C. 5− 34D. 5+ 34
8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2 6，则模型中九个球的表面积和为( )
A. 6πB. 9πC. 31π4D. 21π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,x−,s12；n,y−,s22.记样本平均数为ω−，样本方差为s2，s2=mm+n[s12+(x−−ω−)2]+nm+n[s22+(y−−ω−)2]
A. a=0.004
B. 估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. P(A−)=0.8,P(B−)=0.4
B. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.6
C. 如果A与B互斥，那么P(A⋃B)=0.8
D. 如果A与B相互独立，那么P(A−⋅B−)=0.32
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=4，AA1=5，则下列结论正确的有( )
A. AC⊥BD1
B. 异面直线AD1与B1C所成的角为90°
C. 二面角D1−AC−D的余弦值为2 6633
D. 四面体ACB1D1的体积为803
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为______．
13.已知A(2,0)，O(0,0)，且|OB|=|OC|=2，则AB⋅AC的最小值是______．
14.△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于D点，若BD=1且∠ABC=2π3，则S△ABC面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b的夹角为3π4,|a|=3,|b|=2 2．
(1)求|a−2b|；
(2)若ka+2b与a−2b的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
17.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于M点.设OA=a，OB=b，
(1)用a，b表示OM；
(2)在已知线段AC一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值．
18.(本小题17分)
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形．AD=DE=2AB，F为CD的中点．
(1)证明：AF//平面BCE．
(2)证明：平面BCE⊥平面CDE．
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°？
19.(本小题17分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)若边AB的中线CD长为3，对∀x∈[0,1]，且x+y=1，(xCB+yCA)⋅CD≥9恒成立，试判断“AC=BC”是否成立？
(2)若△ABC为非直角三角形，且a+c=mb，其中m>1．
(ⅰ)证明：tanA2tanC2=m−1m+1；
(ⅱ)是否存在函数φ(m)，使得对于一切满足条件的m，代数式csA+csC+φ(m)ϕ(m)csAcsC恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ(m)，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
参考公式：sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.BCD
10.BCD
11.ACD
12.10.8
13.−2
14. 3
15.解：(1)因为向量a与b的夹角为3π4，且|a|=3,|b|=2 2，
所以a⋅b=|a||b|cs3π4=3×2 2×(− 22)=−6，
所以|a−2b|= (a−2b)2= |a|2+4|b|2−4a⋅b= 9+4×8+24= 65；
(2)因为向量a与b的夹角为3π4，且|a|=3,|b|=2 2，
所以(ka+2b)⋅(a−2b)=k|a|2−4|b|2+(−2k+2)a⋅b=9k−32−6(−2k+2)=21k−44，
若ka+2b与a−2b的夹角为钝角，
则(ka+2b)⋅(a−2b)