广东省梅州市梅县东山中学2024-2025学年高二上学期月考（一） 数学试卷

这是一份广东省梅州市梅县东山中学2024-2025学年高二上学期月考（一） 数学试卷，共14页。试卷主要包含了已知直线，若，则实数a的值为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
2．填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上。
3．试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，，则这个二面角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．己知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知P为平行四边形ABCD外的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为
C．与夹角的余弦值为 D．平面PBD的一个法向量为
8．己知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若三条直线可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．若，则P，A，B，C四点共面
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则P，A，B，C四点共面
D．若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底
11．如图，在多面体ABCDES中，平面ABCL，四边形ABCD是正方形，且，，M，N分别是线段BC，SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点Q，使得
B．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在空间直角坐标系中，点关于上平面对称点的坐标是__________．
13．在中，己知，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为__________．
14．空间四边形ABCD中，，且异面直线AD与BC成，求异面直线AB与CD所成角的余弦值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线和直线的交点为P．
（1）求过点P且与直线平行的直线方程；
（2）若点P到直线距离为，求m的值．
16．（15分）如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
17．（15分）己知的三个顶点是．
（1）求边AC上的高所在直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程．
18．（17分）如图，等腰梯形ABCD中，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且．
（1）证明：平面平面ACD；
（2）若M为PD上的一点，点P到平面ACM的距离为，求平面ACM与平面ACD夹角的余弦值．
19．（17分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长，宽，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如下图所示．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（I）求折叠前直线AC与直线BD所成角队锐角）的余弦值；
（II）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线的方程（用斜率k表示）；
（III）求折痕的长的最大值．
可能用到的结论：函数在上递减，在上递增．
东山中学2024-2025学年度高二第一学期月考（一）
数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）联立方程组，解得，所以点 3分
又所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为 5分
则所求的直线方程为：，即． 7分
（2）点P的距离为，解方程可得． 13分
16．解（1），
，
故，
点E为AD的中点，
故． 7分
（2）由题意得，
故，
故
． 15分
17．解：（1）设AC边上的高所在直线的斜率为k，直线AC的斜率，
所以，所以，
故所求直线方程为，即． 6分
（2）由题意得，
所以，则为等腰三角形，
BC的中点为，故，
由等腰三角形的性质知，AD为的平分线，
故所求直线方程为，即． 15分
18．解：（1）在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，
四边形ABCN为平行四边形，，
；
平面PAC，平面PAC，
平面ACD，平面平面ACD． 6分
（2）分别取AC，AD中点O，G，连接PO，OG，
，O为AC中点，，
又平面平面ACD，平面平面，平面PAC，平面ACD，
O，G分别为AC，AD中点，平面PAC， 8分
则以O为坐标原点，正方向为x，y，z轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 9分
则，
，
设，
则，
设平面ACM的法向量，
则，解得 12分
点P到平面ACM的距离，
解得：； 14分
平面轴，平面ACD的一个法向量， 15分
， 16分
所以，平面ACD与平面ACM夹角的余弦值为 17分
19．解：（I）法一：设AC与BD交于点O，则．
在中，，
在中，由余弦定理得，
故直线AC与直线BD所成角的余弦值为． 4分
法二：由题设得．
，
，
故直线AC与直线BD所成角的余弦值为． 4分
法三：由题设得．
，
，
，
故直线AC与直线BD所成角的余法弦为 4分
（II）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程． 5分
②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为，
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有，即．
故G点坐标为
从而折痕所在的直线与AG的交点坐标（即线段AG的中点）为．
折痕所在的直线方程，即．
由①②得折痕所在的直线方程为． 9分
（II）（i）当时，折痕的长为2； 10分
（ii）当时，
①如下图，折痕所在的直线与边AD．BC的交点坐标为．
这时． 12分
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为．
这时．
令，其中，则，令．
函数在上递减，在上递增．
在上递减，在上递增．
．
，即 14分
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为．
这时． 16分
综上述，即折痕的长度平方的最大值为，
所以折痕的长度的最大值． 17分（不化简不扣分）
部分小题详解：
6．【解析】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即，
由，解得，两直线的交点在第四象限，则有，解得或，
所以实数k的取值范围为．故选：D．
8．【解折】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，
过点A作，垂足为C，
因为直线的方程为，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形AMNC为平行四边形，所以,
所以,
又，当且仅当C，N，B三点共线时等号成立，
所以当点N为线段CB与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点C的坐标为，所以，
所以的最小值为5，故选：D．
10．【解析】对A，由题意知，所以直线l与m垂直，故A正确；
对B，若P，A，B，C四点共面，则共面，因为，
所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对C，若P，A，B，C四点共面，则且，
而，可知，所以P，A，B，C不共面，故C错误；
对D，不能做为基底，则线性相关，
假设存在m，n使得，
化简解之可得，则不可作为基底，故D正确．故选：ABD．
11．【解析】以A为坐标原点，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
；
对于A，假设存在点，使得，
则，又，
所以，解得，即点Q与D重合时，，A正确；
对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为，
因为．
所以，方程无解；所以不存在点Q，B错误；
对于C，连接AQ，AM，AN，设，
因为，
所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2；
又点N到平面AMQ的距离，
所以，C正确；
对于D，由上分析知：，
若是面MNQ的法向量，则，
令，则，
因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，
所以，
当点Q自D向C处运动时，m的值由0到2变大，此时也逐渐增大，
因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确．故选：ACD．
14．【解析】因为，所以，
两边平方得，
，且异面直线AD与BC成，
故，
或，
所以，或，
解得，或（舍去），
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为．故填：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
C
B
D
C
D
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ACD
题号
12
13
14
答案