黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：90分钟满分：120分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集与补集的定义计算即可.
因为，所以，
又，.
故选：B.
2. 不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合分式不等式的解法分析求解.
因为，等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B.
3. 若，则下列结论正确是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式性质和作差法判断即可.
A选项：，则，所以，故A错；
B选项：，因为，，所以，，所以，故B错；
C选项：，同乘得，故C正确；
D选项：若，则，故D错.
4. 下列四组函数中，与不相等的是（）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域进行判断即可.
对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数；
对B：因为两个函数只是表示自变量的字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数；
对C：因为，所以它们表示相同的函数；
对D：由或，所以函数的定义域为，
由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数.
故选：D
5. 已知,则实数为（）
A. B.C. 或D. 或或
【答案】C
【解析】
【分析】分别将,,三种情况代入集合中,看是否满足集合的三个性质即可选出结果.
解:由题知,
当时,集合可化为,符合题意;
当时,集合可化为,
不符合元素的互异性,故舍去;
当时,解得或(舍),
若,集合可化为,符合题意,
综上: 实数为0或1.
故选:C
6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解.
由题意可知，三角形的周长为12，则，
，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为16，
所以三角形面积的最大值.
故选：B
7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）
A. －2B. 1C. 2D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值.
由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，
所以，当且仅当，即时取等号，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为2.
故选：C.
8. 已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值（）
A. 3B. 4C. 1D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出答案.
因为函数的图象如图所示，
不等式fx2-afx<0a>0恰有1个整数解，
因为，所以，
因为，
结合图象观察，唯一的整数解是1，依题意得，
所以，所以实数的最大值是3．
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．）
9. 设，则“”成立一个充分不必要条件是（）
A. B. 或
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先求得不等式的解集，再结合选项，即可得到“”成立的一个充分不必要条件，得到答案.
由不等式，可化为，
解得或，
结合选项，可得“”成立的一个充分不必要条件是A、C、D.
故选：ACD
10. 下列命题中正确的是（）
A. 任意非零实数，，都有
B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数，满足，则的最小值为3
【答案】CD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用基本不等式求出最值判断BC；利用基本不等式“1”的妙用求解判断D.
对于A，取，而，A错误；
对于B，当时，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，正数，满足，则
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：CD
11. 下列说法不正确的是（）
A. 不等式的解集为
B. 若实数a，b，c满足，则
C. 若x∈R，则函数的最小值为2
D. 已知函数，且，则a的值为2或3
【答案】AC
【解析】
【分析】解一元二次不等式可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用基本不等式结合函数单调性可判断C；配方求出，再代入即可求出值.
对A，不等式即，解集为或，A错误；
对B，实数，，满足，则，故，B正确；
对C，，，函数，
但此时，即，故等号取不到，
令，则在上为单调增函数，则，
即函数的最小值为，C错误；
对D，，则，
因为，则，解得或3，则D正确.
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若命题，则p的否定为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定作答.
命题，则命题p是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以p的否定是：.
故答案为：
13. 函数的定义域是__________（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用根式、分式性质列不等式组求定义域.
由题设，可得且，
所以定义域为.
故答案为：
14. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为_______．
【答案】11
【解析】
【分析】对已知式变形，构造成基本不等式的形式，运用基本不等式可得答案.
，
当且仅当，即时取“”，所以的最小值为.
故答案为：11.
【点睛】本题考查运用基本不等式求最值，关键在于对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，属于基础题.
四、解答题（本题共3个小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设集合，集合．
（1）若，求和
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.
（2）因为p是q成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.
小问1】
，因为，所以，
所以，．
【小问2】
因为p是q成立的必要不充分条件，所以⫋，
当时，，得
当时，．
解得，
所以实数a的取值范围是
16. 设.
（1）若命题“对任意实数x，”为真命题，求实数a的取值范围.
（2）解关于x不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将原问题等价转换为恒成立，对进行分类讨论即可求解.
（2）首先将原不等式等价变形为，对含参不等式分类讨论即可求解.
【小问1】
∵命题“对任意实数x，”为真命题，
∴恒成立，即恒成立.
当时，不恒成立，不满足题意；
当时，知，
即，解得.
故实数a的取值范围为.
【小问2】
因为，
所以，即，即，
当时，不等式变为了，解得；
当时，不等式变为了，解得；
当时，，解一元二次不等式，得或；
当时，，解一元二次不等式，得或；
当时，，解一元二次不等式，得.
综上所述：当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.
17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．
（1）若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?
（2）若使用的篱笆总长为，求的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，代入，根据基本不等式即可得出答案；
（2）由已知可得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式即可得出答案.
【小问1】
由已知可得，，
所以，.
又，
所以，，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以，菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小.
【小问2】
由已知可得，，
所以，，
所以，
所以，，
当且仅当，且，即，时等号成立，
所以，的最小值为.