广东阳江市阳春八甲中学2025届九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份广东阳江市阳春八甲中学2025届九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）使得关于x的不等式组有解，且关于x的方程的解为整数的所有整数a的和为（ ）
A．5B．6C．7D．10
2、（4分）下列计算错误的是（ ）
A． +=B．×=C．÷=3D．（2）2=8
3、（4分）已知｜a＋1｜+＝0，则b﹣1＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．0D．1
4、（4分）的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）∠A的余角是70°，则∠A的补角是（ ）
A．20°B．70°C．110°D．160°
6、（4分）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（ ）
A．5B．3C．7D．6
7、（4分）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A．2B．3C．4D．8
8、（4分）已知一次函数，随着的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果一组数据的方差为，那么这组数据的标准差是________.
10、（4分）要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设_____．
11、（4分）已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
12、（4分）写出一个二次项系数为1，解为1与﹣3的一元二次方程：____________.
13、（4分）矩形的对角线与相交于点，，，分别是，的中点，则的长度为________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在Rt△ABC与Rt△ABD中，，，AC、BD相交于点G，过点A作交CB的延长线于点E，过点B作交DA的延长线于点F，AE、BF相交于点H．
（1）证明：ΔABD≌△BAC．
（2）证明：四边形AHBG是菱形．
（3）若AB=BC，证明四边形AHBG是正方形．
15、（8分）某商场计划购进冰箱、彩电相关信息如下表，若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中的值.
16、（8分）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与交于点.
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，求边的长.
17、（10分）感知：如图（1），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，点E在正方形BC边上，点F在AB边的延长线上，∠EBF=90°，连结AE、CF．
易证：∠AEB=∠CFB（不需要证明）．
探究：如图（2），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，点E在正方形ABCD内部，点F在正方形ABCD外部，∠EBF=90°，连结AE、CF．
求证：∠AEB=∠CFB
应用：如图（3），在（2）的条件下，当A、E、F三点共线时，连结CE，若AE=1，EF=2，则CE=______．
18、（10分）如图，在四边形是边长为4的正方形点P为OA边上任意一点（与点不重合），连接CP，过点P作，且，过点M作，交于点联结，设.
（1）当时，点的坐标为（ ， ）
（2）设，求出与的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.
（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点的坐标（用的式子表示）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）从1、2、3、4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率是 .
20、（4分）对于一次函数，若，那么对应的函数值y1与y2的大小关系是________．
21、（4分）如图，在中，，，是角平分线，是中线，过点作于点，交于点，连接，则线段的长为_____．
22、（4分）如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.
23、（4分）如图，正方形的边长是，的平分线交于点，若点分别是和上的动点，则的最小值是_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知求代数式：x＝2+，y＝2-．
（1）求代数式x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
25、（10分）在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．求证：DE=HF．
26、（12分）如图，为等边三角形，，、相交于点，于点，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据不等式组的解集的情况求得a的解集，再解分式方程得出x，根据x是整数得出a所有的a的和．
【详解】
不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到a＞-1，
分式方程去分母得：（a-1）x=4，
解得：x=，
由分式方程的解为整数，得到a-1=-1，-2，2，-4，1，4，
解得：a=0，-1，-3，3，2，5，
∴a=0，2，3，5，
∵x≠2，
∴≠2，
∴a≠3，
∴a=0，2，5
则所有整数a的和为7，
故选C．
本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得a的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
2、A
【解析】
根据二次根式的运算法则逐一进行计算即可.
【详解】
，二次根式不能相加，故A计算错误，符合题意，
，B计算正确，不符合题意，
，C计算正确，不符合题意，
，D计算正确，不符合题意，
故选A.
本题考查二次根式的运算，熟知二次根式的运算法则是解题关键.
3、B
【解析】
根据非负数的性质求出a、b的值，然后计算即可．
【详解】
解：∵｜a＋1｜+＝0，
∴a+1=0，a-b=0，
解得：a=b=-1，
∴b-1=-1-1=-1．
故选：B．
本题考查了非负数的性质——绝对值、算术平方根，根据两个非负数的和为0则这两个数都为0求出a、b的值是解决此题的关键．
4、B
【解析】
根据算术平方根的概念求解即可.
【详解】
解：4的算术平方根是2，故选B.
本题考查了算术平方根的概念，属于基础题型，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.
5、D
【解析】
先根据互余两角的和等于90°求出∠A的度数，再根据互补两角的和等于180°列式求解即可；
或根据同一个角的补角比余角大90°进行计算．
【详解】
解：∵∠A的余角是70°，
∴∠A=90°-70°=20°，
∴∠A的补角是：180°-20°=160°；
或∠A的补角是：70°+90°=160°．
故选：A．
本题考查了余角与补角的求法，熟记互余两角的和等于90°，互补两角的和等于180°的性质是解题的关键．
6、A
【解析】
根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值为众数，即可得到答案
【详解】
解：由题中数据可得：5出现的次数最多
∴这组数据的众数为5
故选A
本题考查众数的概念，要熟练掌握.
7、C
【解析】
试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=1．
考点：根与系数的关系．
8、A
【解析】
根据自变量系数大于零列不等式求解即可.
【详解】
由题意得
a-2>0,
∴a>2.
故选A.
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
求出9的算术平方根即可.
【详解】
∵S²=9，S==3，
​故答案为3
本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先知道方差，标准差即方差的算术平方根.
10、每一个角都小于45°
【解析】
试题分析：反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设每一个角都小于45°．
考点：此题主要考查了反证法
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
11、
【解析】
先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【详解】
由根与系数的关系得：m+n=，mn=，
∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，
故答案为：．
本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如、x12+x22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．
12、x2+2x﹣3＝0.
【解析】
用因式分解的形式写出方程，再化为一般形式即可
【详解】
解：（x-1）（x+3）=0，
即x2+2x-3=0，
故答案为：x2+2x-3=0
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
13、1
【解析】
分析题意，知道，分别是，的点，则可知是△AOD的中位线；结合中位线的性质可知= OA，故只要求出OA的长即可；已知矩形的一条对角线长，则可得出AC的长，进而得出OA的长，便可得解.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4，
∴OA=2.
∵，是DO、AD的中点，
∴是△AOD的中位线，
∴= OA =1.
故答案为：1
此题考查中位线的性质，矩形的性质，解题关键在于利用中位线性质求解
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
（1）由“HL”可证明Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知，可得，从而得到平行四边形AHBG是菱形．
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可．
【详解】
解：（1），，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
（2），，
∴四边形AHBG是平行四边形．
∵△ABC≌Rt△BAD,
，
，
∴平行四边形AHBG是菱形．
（3），，
是等腰直角三角形，
，
又∵△ABC≌△BAD，
，
，
∴菱形AHBG是正方形．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等几何知识的综合运用，解题时注意：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角即可得到正方形．
15、1
【解析】
根据数量=总价÷单价结合用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：由题意可列方程
解得，
经检验，a=1是原方程的解，且符合题意．
答：表中a的值为1．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16、 (1)证明见解析；(2)AD=12.
【解析】
（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据AAS证明△AGF≌△BGE，再根据全等三角形的性质与平行四边形的性质即可求解．
【详解】
(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
(2)解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴.
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明△AGF≌△BGE．
17、感知：见解析；探究：见解析；应用： ．
【解析】
感知：先判断出∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，进而判断出BE=BF，得出△ABE≌△CBF（SAS）即可得出结论；
探究：先判断出∠ABE=∠CBF，进而得出△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论；
应用：先求出CF=1，再判断出∠CFE=90°，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠CFB；
探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°=∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠CFB；
应用：由（2）知，△ABE≌△CBF，∠BFC=∠BEA，
∴CF=AE=1，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∴∠AEB=135°，
∴∠BFC=135°，
∴∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°，
在Rt△CFE中，CF=1，EF=2，根据勾股定理得， ，
故答案为：．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABE≌△CBF（SAS），是解本题的关键．
18、（1）点的坐标为；（2）；（3），
，，
【解析】
（1）过点作，由“”可证，可得，，即可求点坐标；
（2）由（1）可知,设OP=x，则可得M点坐标为（4+x，x），由直线OB解析式可得N（x，x），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形，进而可求与的函数关系式；
（3）首先画出符合要求的点的图形，共分三种情况，第一种情况：当为底边时，第二种情况：当M为顶点为腰时，第三种情况：当N为顶点为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．
【详解】
解：（1）如图，过点作，
，且
，且，
，
点坐标为
故答案为
（2）由（1）可知
，
点坐标为
四边形是边长为4的正方形，
点
直线的解析式为：
，交于点，
点坐标为
，且
四边形是平行四边形

（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，
此时点的坐标为：，，，，，，其中，
理由：当（2）可知，，，轴，所以共分为以下几种请：
第一种情况：当为底边时，作的垂直平分线，与轴的交点为，如图2所示
，
，
第二种情况：如图3所示，
当M为顶点为腰时，以为圆心，的长为半径画弧交轴于点、，连接、，
则，
，
，
，，
，
，
，；
第三种情况，当以N为顶点、为腰时，以为圆心，长为半径画圆弧交轴正半轴于点，
当时，如图4所示，
则，
，
即，．
当时，
则，此时点与点重合，舍去；
当时，如图5，以为圆心，为半径画弧，与轴的交点为，．
的坐标为：，．
，
，
所以，综上所述，，，，，，，使是等腰三角形．
本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为；
20、
【解析】
先根据一次函数判断出函数图象的增减性，再根据x1＜x1进行判断即可．
【详解】
∵直线，k=-＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x1＜x1，
∴y1＞y1．
故答案为＞.
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
21、1
【解析】
首先根据全等三角形判定的方法，判断出△AFG≌△AFC，即可判断出FG=FC，AG=AC，所以点F是CG的中点；然后根据点E是BC的中点，可得EF是△CBG的中位线，再根据三角形中位线定理，求出线段EF的长为多少即可．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAG=∠FAC，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC，
∴FG=FC，AG=AC=4，
∴F是CG的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EF是△CBG的中位线，
∴.
故答案为：1.
本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22、1或2
【解析】
根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【详解】
根据题意画出图形，过点作，交于点，交于点，四边形为正方形，.
在中，，cm，
cm.
根据勾股定理得cm.
为的中点，cm，
在和中，
，
，.
，，
，即.
在中，， cm.
由对称性得到 cm，
综上，等于1cm或2cm.
故答案为：1或2.
此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23、
【解析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值.
【详解】
解：解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=5，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=25，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=25，
，即DQ+PQ的最小值为.
本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P'点，题型较好，难度较大．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）18；（2）1.
【解析】
（1）求出x+y，xy的值，利用整体的思想解决问题；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
解：（1）∵x=，y=，
∴x+y=4，xy=4-2=2
∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy
=16+2
=18
（2）S菱形=xy==（4-2） =1
“点睛”本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型.
25、证明见解析.
【解析】
分析：根据题意知EH是直角△ABH斜边上的中线，DE是△ABC的中位线，所以由相关的定理进行证明．
详解：∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE=AB．
又∵点F是AB的中点，AH⊥BC，∴FH=AB，∴DE=HF．
点睛：本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
26、 (1)见解析;(2)7.
【解析】
（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．
【详解】
（1）证明：为等边三角形，
，；
在和中，
，
，
；
（2），
，
；
，
，
，
，
在中，，
又，
．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
进价/（元/台）
冰箱
a
彩电
a-400