广西南宁市第三中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份广西南宁市第三中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3:2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．18°C．27°D．9°
2、（4分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟.在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙用16分钟追上甲；③乙走完全程用了30分钟；④乙到达终点时甲离终点还有360米.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．10
4、（4分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、（4分）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（ ）
A．75°B．45°C．60°D．30°
6、（4分）某铁工艺品商城某天销售了110件工艺品，其统计如表：
该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7、（4分）解分式方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=6B．a=5，b=6，c=7C．a=6，b=8，c=9D．a=7，b=24，c=25
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为______．
10、（4分）不等式的正整数解的和______；
11、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，那么AB＝_____．
12、（4分）如图， 和都是等腰直角三角形， ，的顶点在的斜边上，若，则____.
13、（4分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
（1） ；
（2）（﹣1）（+1）+（﹣2）2
15、（8分）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如这样的式子，我们还可以将其进一步化简：以上这种化简过程叫做分母有理化.还可以尝试用以下方法化简：
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）请任选一种方法化简：
16、（8分）（1）解不等式组；
（2）解方程；
17、（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，恰好用完，试求的长，使矩形花园的面积为．
18、（10分）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE.
(2)连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为 ．
20、（4分）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，当__________时..
21、（4分）已知直线与直线平行且经过点，则__．
22、（4分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是AB中点，E是边BC上一动点，连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连接CF，若CF=，则BE=_________。
23、（4分）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则 的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，DC，过点A作交DE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：；
（2）求证，四边形BCFD是平行四边形；
（3）若，，求四边形ADCF的面积.
25、（10分）新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量。经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆.
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴.在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
26、（12分）先化简在求值： ，其中
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题解析：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°-36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°-2×54°=72°
所以∠BDE=180°-∠DOC-∠DEO=18°
故选B．
2、C
【解析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故②错误，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④正确，
故选：C．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3、D
【解析】
要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB＝ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，
∴CM＝6，
∴BM＝＝1，
∴DN+MN的最小值是1．
故选：D．
此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
4、C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
∵第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．
故选C．
5、C
【解析】
首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B＝∠D＝60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB＝AC，AD＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°．
故选C．
此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6、B
【解析】
根据众数的概念：数据中出现次数最多的数，即可得出他应该关注的统计量．
【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，所以想要了解哪个货种的销售量最大，应该关注的统计量是这组数据中的众数．
故选：B．
本题主要考查统计的相关知识，掌握平均数，众数，中位数，方差的意义是解题的关键．
7、D
【解析】
两个分母分别为x+1和x2-1，所以最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．
【详解】
方程两边都乘(x+1)(x−1)，
得x(x−1)−x−2=x2−1.
故选D.
本题考查了解分式方程的步骤，正确找到最简公分母是解题的关键.
8、D
【解析】
A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．
【详解】
∵在△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD−AC=1，
∴四边形AEDB的面积为，
故答案为.
本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是熟记旋转前后的对应边相等.
10、3.
【解析】
先解出一元一次不等式，然后选取正整数解，再求和即可.
【详解】
解：解得;x＜3,；则正整数解有2和1；
所以正整数解的和为3；故答案为3.
本题考查了解一元一次不等式组和正整数的概念，其关键在于选取正整数解.
11、1
【解析】
根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴＝，
∵BC＝6，
∴AB＝1．
故答案为1．
本题主要考查含30度角的直角三角形的知识点，此题较简单，需要同学们熟记直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半．
12、6
【解析】
连接BD，证明△ECA≌△DCB，继而得到∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行求解即可.
【详解】
连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠E=45°，∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ECA≌△BDC，
∴DB=AE=4，∠BDC=∠E=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠BDC=90°，
∴AD=，
故答案为6.
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
13、
【解析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1);(2)8-
【解析】
（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可.
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可.
【详解】
（1）原式＝3++2﹣
＝3+2+
＝；
（2）原式＝2﹣1+3﹣4+4
＝8﹣4．
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
15、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用分母有理化计算或把分子因式分解后约分；
（2）先分母有理化，然后合并即可.
【详解】
（1）方法一：
方法二：
（2）原式，
，
，
.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
16、（1）2＜x≤；（2）原分式方程无解
【解析】
（1）根据不等式组的解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）
由①得：3x-3＞x+1
∴2x＞4
解得：x＞2
由②得：x-1≥4x-8
∴-3x≥-7
解得：x≤
∴不等式组的解集为：2＜x≤
（2）去分母得：x（x-2）-（x+2）2=-16
∴x2-2x-x2-4x-4=-16
∴-6x=-12
解得：x=2
将x=2代入x2-4，得x2-4=0
∴原分式方程无解．
本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用不等式组的解法以及分式方程的解法，本题属于基础题型．
17、的长为15米
【解析】
设AB=xm，列方程解答即可.
【详解】
解：设AB=xm，则BC=（50-2x）m，
根据题意可得，，
解得：，
当时，，
故（不合题意舍去），
答：的长为15米．
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；
（2）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形．
【详解】
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵ ，
∴△ABE≌△FCE(ASA)；
(2)∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BE=EC，AE=EF，
又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴AE=BE，
∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，
则四边形ABFC为矩形.
此题考考查矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、48°
【解析】
试题分析：因为AB∥CD，∠B=68°，所以∠CFE=∠B=68°，又∠CFE=∠D+∠E, ∠E=20°，所以∠D=∠CFE-∠E=68°-20°=48°．
考点：1．平行线的性质2．三角形的外角的性质
20、
【解析】
先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．
【详解】
解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=a2=9，S2=b2，S3=c2=25，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2=c2，即S1+S2=S3，
∴S2=S3−S1=16.
故答案为：16.
此题主要考查了正方形的面积公式及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．
21、2
【解析】
由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行得到k=2，然后把点A（1，2）代入一次函数解析式可求出b的值．
【详解】
直线与直线平行，
，
，
把点代入得，解得；
，
故答案为：2
本题主要考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法，解答此类题关键是掌握若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
22、1或2
【解析】
当DF在CD右侧时，取BC中点H，连接FH交CD于M，连接DH，CD。可证△FDH≌△EDB，再证△CHM≌△DHM，推出MH⊥CD，由勾股定理可得FM,由中位线可得MH，进而可计算FH，由全等可得FH=BE。同理可求DF在CD左侧时，FH的值，进而求BE的值。
【详解】
如图当DF在CD右侧时，取BC中点H，连接FH交CD于M，连接DH，CD。
易证△BDH是等边三角形，DH=BD, ∠FDH=∠EDB ,DF=DE
∴△FDH≌△EDB
∴FH=BE，∠FHD=∠B=60°
在等边△BDH中∠DHB=60°
∴∠CHF=60°
∴MH=MH,∠CHM=∠MHD=60°，DH=CH,
∴△CHM≌△DHM
∴CM=DM,
∵ CM=DM,CH=BH
∴ MH//BD,
∵CD⊥AB
∴MH⊥CD
∴∠CMF=90°
∴
∴
∴
BE==1
同理可证，当DF在CD左侧时
BE==2
综上所诉，BE=1或2
灵活构造三角形全等，及中位线，勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键。
23、-3
【解析】
解：因为的两根为x1，x2，
所以
=
故答案为：-3
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），见解析；（2）四边形BCFD是平行四边形，见解析；（3）.
【解析】
（1）欲证明DE=EF，只要证明△AEF≌△CED即可；
（2）只要证明BC=DF，BC∥DF即可；
（3）只要证明AC⊥DF，求出DF、AC即可；
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，，∴，，
∵，∴，
∴四边形BCFD是平行四边形．
（3）在中，，，
∴，，，
∴，
∵DE∥BC，∴，
∴，
∴.
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理．解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25、（1）40%；（2）财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
【解析】
（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆”列出方程并解答；
（2）根据（1）中的增长率可以得到：3250×增长率×0.1．
【详解】
解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意得
.
解得，，（舍）
因此，.
所以，今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%.
（2）3250×40%×0.1=1040（万元）.
所以，财政部门今年需要准备1040万元补贴资金.
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
26、-
【解析】分析：根据分式的混合运算法则化简，代入化简结果进行计算即可；
详解：
=
=
=-
当x＝﹣2时
原式=.
点睛：本题考查分式的化简求值、解题的关键是掌握分式的混合运算的法则，注意最后结果要化成最简分式或整式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
货种
A
B
C
D
E
销售量（件）
10
40
30
10
20