2024-2025学年度第一学期高一期中模拟试题数学（集合～指数函数）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则（ ）
A．-1B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据集合相等的定义，即可求解.
【详解】由可知，.
故选：A
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以原函数的定义域为.
故选：A
3．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知：，是真命题，解不等式即可求解.
【详解】由于命题是假命题，则是真命题，
即，是真命题，
，解得．
故选：B．
4．“”是“函数（且）的图象经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】当时求出，结合指数函数得到图象经过第一、三、四象限，若图象经过第三象限，求出取值范围，求出，进一步解得的范围.
【详解】当时，，
再结合指数函数的图象特征可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；
若的图象经过第三象限，易知时不成立，
所以，且，解得，所以必要性成立.
故选：C.
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解.
【详解】函数定义域为R，由，得或，即函数有两个零点，BC错误；
，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意.
故选：A
6．已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得.
【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称，
显然，，而，在上是增函数，
因此，所以.
故选：B
7．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，可得，
整理得，故，解得，
∴.
若正实数a、b满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
故选：A.
8．已知函数是三次函数且幂函数，，则（ ）
A．4047B．8092C．8094D．9086
【答案】C
【分析】函数fx是三次函数且是幂函数得，然后再结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】 因为是三次函数且是幂函数，所以，所以.
令，，
则是奇函数，所以:
.
故C项正确.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，则
D．为互不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可.
【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确；
对于B，令，则，，
显然，因此B错误；
对于C，由，又，，
则，即，因此C正确；
对于D，由为互不相等的正数，则，又，，
即，，即，，
又，
，即，因此D正确；
故选：ACD.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．存在最小值，则
C．的单调递减区间为D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项.
【详解】A选项：，，所以，解得，A选项正确；
B选项：当时，，所以，即函数在上的最小值为，
又当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，，
所以若函数存在最小值，则，B选项正确；
C选项：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减；
D选项：由已知得，所以，
又函数在上的最小值为，
所以，解得，D选项正确；
故选：ABD.
11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．f1=0
B．是奇函数
C．若，则
D．若当时，，则在0,+∞单调递减
【答案】ABD
【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D.
【详解】因为，
令，得，所以，故A正确；
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故在单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知幂函数满足，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的解析式可得，再代入计算即得.
【详解】设，则，所以.
故答案为：
13．甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第 天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.
【答案】11
【分析】设从第天起，由题设条件列出不等式，再借助计算器计算即得.
【详解】假设从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店，
则，整理得，
由计算器计算，
当时，，
当时，，
所以从第11天开始，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店.
故答案为：11
14．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围.
【详解】由于函数，作出图象如图所示：

由可得：.
当时，，不等式无解；
当时，由得：，
若不等式恰有两个整数解，由于，，，
则整数解为和，又，
∴；
当时，由得：，
若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和，
又， ，∴，
综上所述：实数的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）已知，，求的值；
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）
.
16．已知函数．
(1)用定义法证明是减函数；
(2)解关于t的不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用减函数的定义推理论证即得.
（2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式.
【详解】（1），且，则，
由，得，而，
因此，即，
所以是减函数.
（2）由，得，，即函数是奇函数，
不等式，而是减函数，
因此，解得，
所以原不等式的解集是.
17．某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
(1)写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)；
(2)当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式.
（2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可.
【详解】（1）依题意，，又，
所以.
（2）当时，，其图象开口向上，对称轴为，
因此在上单调递减，在上单调递增，在0,2上的最大值为；
当时，
，
当且仅当时，即时等号成立，
而，则当时，，
所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
18．已知a为实数，函数，．
(1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值；
(2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围；
(3)设，求的最小值．
【答案】(1)或.
(2)
(3)
【分析】（1）因为,的最大值等于2,只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果；
（2）因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可；
（3）先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值．
【详解】（1）因为，
当时，，即，解得：（舍）或.
当时，，即，解得：（舍）或.
综上，或.
（2）设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B，
则，．
因为对任意，都存在，使，
所以得，
所以a的取值范围是
（3）
①当时，在上单调递减，上单调递增，
；
②当时，在上单调递减，上单调递增，
；
③当时，在上单调递减，上单调递增，
；
综上．
19．已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.
(1)求的值；
(2)若函数，证明：；
(3)若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据图象平移的性质得到平移后的解析式即可求出的值；
（2）由（1）求出解析式，代入即可证明；
（3）由（1）求出和解析式，根据函数性质列出关于增函数的不等式即可求出取值范围.
【详解】（1）函数的图象向下平移2个单位长度后得到的图象，
再向左平移1个单位长度得到的图象，
所以.又，
所以（负值舍去）；
（2）由（1）可知
所以；
（3）由（1）可知，
若两函数在区间上都是增函数，
则在区间上恒成立，
可得解得，
若两函数在区间上都是减函数，
则在区间上恒成立，
可得该不等式组无解,
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数增减性以及函数性质列出正确的不等式.