云南省昆明市师大附中2024届高三上学期适应性月考（二）数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】将代入，进行复数运算即可.
【详解】由，所以，
故而，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 设集合，，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C

3. 已知，都是等差数列，且，，，则数列的前10项和为（ ）
A. 60B. 65C. 70D. 75
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可知，数列为等差数列，利用等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】由，均为等差数列，所以为等差数列，故而.
故选：B.
4. 已知函数，若是方程的两个不等的根，且满足的最小值为，则的值为（ ）
A. 0B. 4C. －4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的两个根之间的距离的最小值列式，并由此求得.
【详解】由得，或，，
即或，
要使取得最小值，则
，当且仅当时等号成立.
则.
故选：D
5. 已知抛物线，经过的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则为（ ）
A. 锐角B. 直角
C. 钝角D. 随着直线l的变化，可能是锐角、直角或钝角
【答案】B
【解析】
【分析】设直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理计算即可.
【详解】如图，设经过点的直线的方程为，
与抛物线：联立方程得：，
设，则，，
则，,所以为直角.
故选:B.
6. 在中，，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识列方程，由此求得的值.
【详解】
，
令，则，，
所以，解得.
故选：B
7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则在第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据条件概率以及贝叶斯概率公式，即可求得答案.
【详解】设表示第i次投篮的人为甲，；表示第i次投篮的人为乙，；
则第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率： ，
故选：A.
8. 定义域为的函数满足：当时，，且对任意的实数x，均有，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】，，
，
所以，，
，
所以，，，
又对任意的实数，均有，
所以，则有，
所以 ，
，
，
.
故选:C
【点睛】由于本题的已知的解析式对应的定义域是，所以本题解题关键点在于，利用对数的运算、抽象函数运算，将，转化为内的式子来表示，从而求得对应的函数值.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（ ）

A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 六边形
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求点为棱的中点，以及点在点处时，截面的形状，再讨论点在其他位置时，截面的形状.
【详解】如图，当点为棱的中点时，截面为等腰梯形；
当点在点处时，截面为菱形；
当时，截面为五边形；
当时，截面为四边形；
综上所述，AC正确，BD错误.

故选：AC.
10. 已知点为椭圆C：的左焦点，点P为C上的任意一点，点的坐标为，则下列正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为7
C. 的最小值为
D. 的最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，所以，
的最小值，即是的长，当点在位置时取到，
所以最小值为，故A正确；
设椭圆的右焦点为，所以，
则当点在位置时取到最大值，
所以的最大值为，故B正确；
的最小值当在位置时取到，
即的最小值为，故C错误；
由，
则当点在位置时取到最大值，
所以的最大值为，故D正确.
故选:ABD

11. 若，且，则（ ）
A. 的最小值为9
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为36
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】由且，所以，
当且仅当，即，时取等号，故正确；
由，即，
要使得不等式取等号需满足，即，，即，不合题意，故不正确；
，当且仅当，即时取等号，故正确；
，
当且仅当且，即，时取等号，故D正确；
故选：ACD.
12. 已知，为定义在上的函数，且对任意的x，y满足：，且，则下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 为奇函数
D. 若，则3是的一个周期
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法逐项判断即可.
【详解】因为对任意的x，y满足：，所以
对于，令，则，故正确；
令，，则.又，则，故错误；
令，则，所以为奇函数，故正确；
令，，则，
由于，所以，
令，则，
令，则，
两式相加得：，
即：，所以，
故，所以是的一个周期，所以正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量模长可求得，再利用向量夹角的公式即可求得结果.
【详解】由可得，
即，即，
所以，又，
所以.
故答案为：
14. 正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合题意将正八面体表示出来，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出内切球的表面积；
【详解】
由图可知，由正八面体的顶点是正方体的六个面的中心，结合几何体的对称性，边长为的正方体可以看成是八个边长为1的正方体组成，
所以正八面体的边长为，
则
设内切球的半径为，则
解得：
故有：；
故答案为：.
15. 某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生所在的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量它们的身高所得的数据（单位：cm）如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数______；总样本方差为______.
【答案】 ①. 169 ②. ##
【解析】
【分析】利用样本平均值和方差的公式计算即可.
【详解】由题意知；
设男生的身高为，身高的平均数为，方差为，
设女生的身高为，身高的平均数为，方差为，
由，
得 ，同理，
则
.
故答案为：；
16. 已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.
【详解】
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得：；
由函数，求导可得：，则，
在处的切线方程为，整理可得；
由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..
故答案为：.
四、解答题（共70.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形中即可求解；
（2）由两三角形面积比关系可得两边之比，再用向量方法表示，两边平方建立方程解得边长，再利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由及正弦定理知：
所以
由得，
由，所以则，
由，所以.
【小问2详解】
如图，由，
且，AD平分，
得，
令，则，又，且，
因为，
所以
，
即：，
化简得，所以，即，，
故的面积.

18. 已知数列满足：，.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求的前n项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【小问1详解】
证明：由，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即
【小问2详解】
由（1）知：，所以.
又，
19. 某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小，且甲班前两局连胜两场的概率为（每局比赛没有平局）.
（1）求甲班获胜的概率；
（2）若冠军奖品为16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理.
【答案】（1）
（2）甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用互斥事件得概率加法公式和相互独立事件得概率乘法公式计算即可；
（2）先求出再甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.
【小问1详解】
令事件：甲在第局获胜，.
甲连胜两局的概率为：，
所以，则甲获胜的概率为：
【小问2详解】
由题意知，在甲第一局获胜的情况下，
甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场，即，
故而甲、乙应按照的比例来分配比赛奖金，
即甲班级应获得13个排球，乙获得3个排球比较合理
20. 如图，已知在三棱柱中，平面平面，且平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，，，分别为，的中点，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质及线面垂直的判断定理即可；
（2）利用（1）中结论及已知条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，利用空间法向量解决即可.
【小问1详解】
证明：如图，
在平面中，过点分别作的垂线，垂足分别为，
由平面平面，平面平面，
又平面，且，
所以平面，又平面，
所以.
同理：，
又，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，
又，，
所以
所以，所以两两垂直；
建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，
设为平面的一个法向量，
则
令，则，，则
设为平面的一个法向量，
令，则，，则
设是平面与平面所成锐二面角，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21. 已知，.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导后，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，
（2）将问题转化为，在恒成立，令，则转化为，在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【小问1详解】
当时，，
所以，
当时，，当时，，
故而在上单调递减，在上单调递增；
所以的最小值为
【小问2详解】
在上恒成立等价于：恒成立，
即，在恒成立，
令，由（1）知：上面不等式等价于：
，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
令
所以.
又令，且，
而，即在上单调递增，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增；
所以在上的最小值为，
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为，在上恒成立，然后构造函数利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
22. 已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点为C上的一点，且，的面积为，双曲线的离心率为.
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于和，分别是的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用的面积以及双曲线的离心率求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，由根与系数关系求得两点的坐标，进而求得直线的方程，从而确定定点坐标.
【小问1详解】
由点为双曲线的一点，则，
所以，
又，所以，
所以，所以，故而.
又，且，即，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为：，，，中点
直线的方程为：，，，中点
由与垂直，所以，
联立方程，消去得：，
由题意需满足：，
且，
所以，.
同理：，
当时，，
故而直线为：，
即：，所以直线过定点，
当时，经检验，直线过定点，
当直线与直线，其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，
直线是轴，过点.
综上所述，直线过定点.
【点睛】关键点睛：求解双曲线的标准方程，关键是求得 ，这是两个未知数，所以需要两个条件，如本题中的 的面积以及双曲线的离心率，将已知条件转化为方程的形式，再结合双曲线的隐藏条件“ ”就可以求得双曲线的标准方程.
性别
人数
平均数
方差
男生
5
172
18
女生
3
164
30