2019-2020学年天津市河北区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市河北区九年级上学期数学期末试题及答案，共19页。试卷主要包含了 下列事件是随机事件的是， 如图，平面直角坐标系中，点E， 正六边形的半径与边心距之比为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是中心对称图形，故本选项错误；
B．是中心对称图形，故本选项正确；
C．不是中心对称图形，故本选项错误；
D．不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B. 在一个标准大气压下，把水加热到100℃，水就会沸腾
C. 有一名运动员奔跑的速度是80米/秒
D. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件的定义逐项分析即可.
【详解】A. 随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故符合题意；
B. 在一个标准大气压下，把水加热到100℃，水就会沸腾是必然事件，故不符合题意；
C. 有一名运动员奔跑的速度是80米/秒是不可能事件，故不符合题意；
D. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，故不符合题意；
故选A.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k＞1C. 0＜k＜1D. k≤1
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=1-4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案是：k＜且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A. 8cmB. 12cmC. 11cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
6. 如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）B. （8，﹣4）
C. （2，﹣1）或（﹣2，1）D. （8，﹣4）或（﹣8，4）
【答案】C
【解析】
【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．
【详解】∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E'F'O，∴点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．
7. 正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A. 1：B. ：1C. ：2D. 2：
【答案】D
【解析】
【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.
【详解】∵正六边形半径为R，
∴边心距r＝R，
∴R：r＝1：＝2：，故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.
8. 在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是( )．
A. x (x + 1) = 110B. x (x －1) = 110
C. 2x ( x + 1) = 110D. x (x－1) = 110×2
【答案】B
【解析】
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
【详解】∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x−1)张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x−1)=110.
故选B
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是确定正确的等量关系.
9. 已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，⊙O与三角形的边相切，下列选项中，⊙O的半径为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆与三角形各边相切的不同情况，利用勾股定理列方程求出圆的半径，找出正确的答案．
【详解】解：①∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴⊙O的半径=，
∴A不正确；
②∵⊙O与AB，BC相切，
∴r2+（c-a）2=（b-r）2
∴r=，
∴B不正确；
③∵⊙O与AC，BC相切，圆心在AB上，
∴=，
∴r=，
∴C正确，
④∵⊙O与AB，AC相切，圆心在BC 上，
∴（a-r）2=r2+（c-b）2，
∴r=，
∴D不正确．
故选C.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理的应用，正确弄清圆与三角形的位置关系是解决本题的关键．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论
①2a+c＞0；
②若在抛物线上，则y1＞y2＞y3
③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；
④当n＝﹣时，△ABP为等腰直角三角形；
其中正确结论个数有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】∵，a＞0，∴a＞﹣b．
∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①正确，
若（），（），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确．
∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c﹣t=0有实数解．
要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c﹣t≤c﹣n；故③错误，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵，∴b2﹣4ac=4，∴x，∴|x1﹣x2|，∴AB=2PH．
∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴△PAB是直角三角形．
∵PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
综上，结论正确的是①②④．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共8小题）
11. 抛物线与轴有______个交点．
【答案】2.
【解析】
【分析】令y=0，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解.
【详解】解：令y=0，得，
则
方程有两个不相等的实数根，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为2
【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式等知识点的理解和掌握，能根据根与系数的关系进行判断是解此题的关键．
12. 如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
【详解】∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，
∴
解得：m=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题考查了二次函数最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝_____．
【答案】100°
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝100°，
∴∠ADE＝∠B=100°．
故答案为100°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
14. 两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为_____．
【答案】16：81
【解析】
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】∵两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，∴两个相似三角形相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积之比为16：81．
故答案为：16：81．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质；熟练掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是_____．
【答案】x＜﹣2或0＜x＜1
【解析】
【分析】根据图象即可求得．
【详解】∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意数形结合思想的运用．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积= ，得到|k|=2，即可得到结论．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
故答案为-2．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
17. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形的位置，，则阴影部分的面积为_________．
【答案】.
【解析】
【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，∴CE=2CD，∴∠DEC=30°，∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE=，
故答案为．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质.
18. 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A⇒B⇒A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t为_____s时，△BEF是直角三角形．
【答案】1或或
【解析】
【详解】解∶∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°．
又BC=3cm，
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时，即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．
若△BEF是直角三角形，则当∠BFE=90°时，点E与点O重合，即t=1；
当∠BEF=90°时，则BE=BF=，此时点E走过的路程是或，
则运动时间是s或s．
故答案为∶1或或
三．解答题（共6小题）
19. 在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）规则是公平的；
【解析】
【详解】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．
试题解析：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）=；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）=，P（小李）=，≠，
∴规则不公平．
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．
【答案】（1）△ADE∽△ABC；（2）.
【解析】
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．
【详解】（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°．
∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB．
∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）由（1）可得：△ADE∽△ABC．
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比==．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
21. 一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，m），B（n，-1）两点．
（1）求出这个一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）
【解析】
【分析】（1）先把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n，于是确定A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）设直线AB交y轴于P点，先确定P点坐标，然后利用S△OAB=S△AOP+S△BOP和三角形面积公式进行计算．
【详解】（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y得﹣m=﹣2，﹣n=﹣2，解得：m=2，n=2，
所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1），
把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y=kx+b得：，解得：，
所以这个一次函数的表达式为y=﹣x+1；
（2）设直线AB交y轴于P点，如图，
当x=0时，y=1，所以P点坐标为（0，1），
所以S△OAB=S△AOP+S△BOP1×11×2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
22. 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．
（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．
【答案】（1）∠ADC=73°，∠OCD=39°；（2）34°
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OD，根据切线的性质得到∠ODF=90°，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）连接OD．
∵AE=AD，∠BAD=34°，∴∠ADC=∠AED（180°﹣34°）=73°．
∵OA=OD=OC，∴∠ADO=∠A=34°，∴∠OCD=∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=73°﹣34°=39°；
（2）连接OD．
∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF=90°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDF．
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠BDF=∠BAD=34°．

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30°或150°，的长最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
【详解】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，
即α=30°；
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，注意特殊角的三角函数值的应用．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，PD最大值；（3），N（1，），M（，0）．
【解析】
【分析】（1）y=﹣x2+bx+c经过点C，则c=3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y=﹣x2+bx+3，即可求解；
（2）设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，即可求解；
（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，即可求解．
【详解】（1）y=﹣x2+bx+c经过点C，则c=3，
将点A的坐标代入抛物线表达式：y=﹣x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，
抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
令y=0，得：﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1或3，故点B（3，0），
设直线BC为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得：
，解得：．
∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），
则PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=，
当x时，PD最大值为：；
（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求．
∵∠ABH=30°，∠MHB=90°，∴∠CMO=∠BMH=90°-30°=60°．
∵∠COB=90°，∴∠COM=30°，∴OC=OM．
∵OC=3，∴OM=，
∴M（，0），CM=2OM=，MF=OM-OF=，MB=OB-OM=．
∵∠FMN=60°，∴tan∠FMN=，∴，
∴NF=，∴N（1，）．
CN+MNMB的最小值=CMMB=．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，其中（3），本题提供对的采取的用点的对称轴确定线段和的方法，是此类题目的一般方法．