辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共19页。
A. B. C. D.
2.（5分）已知，则函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3.（5分）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
4.（5分）已知，则的值是（ ）
A.15 B.12 C.16 D.25
5.（5分）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6.（5分）同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.（5分）已知定义在上的偶函数，若正实数､满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.（5分）已知函数，且对任意的实数，恒成立，函数，若对，使，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.（5分）下列说法正确的是（ ）
A.函数的定义域为
B.和表示同一个函数
C.函数的图象关于坐标原点对称
D.函数满足，则
10.（5分）下列叙述中正确的是（ ）
A.若，，，则“”的充要条件是“”
B.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C.若，，，则“对恒成立”的充要条件是“”
D.“”是“”的充分不必要条件
11.（5分）已知，，且，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为9
C.的最小值为 D.的最大值为2
12.（5分）已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A.实数的取值范围是
B.函数的图象关于原点对称
C.
D.的取值范围是
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.（5分）函数且的图象必过定点___________.
14.（5分）函数满足对任意都有，则的取值范围是___________.
15.（5分）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，___________.
16.（5分）设函数的定义域为，满足，且当时，，则当时，函数所有零点组成的集含是___________.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知命题：实数满足集合，：集合.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.（12分）已知关于的不等式.
（1）该不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（3）若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围.
19.（12分）2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学､北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完.
（1）求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
（2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润.
20.（12分）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，，都有；③当时，.
（1）证明：为奇函数.
（2）解不等式.
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知函数在区间上有最大值4和最小值1.
（1）求､的值；
（2）设.
①若时，，求实数的取值范围；
②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【分析】先求出集合，再结合补集的定义，即可求解.
【解答】解：，
.
故选：C.
【点评】本题主要考查补集的定义，属于基础题.
2.【分析】根据二次根式的性质求出的定义域，从而求出的定义域即可.
【解答】解：由题意得：
解得：，
故的定义域是，
由，解得：且，
故函数的定义域是，
故选：A.
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题.
3.【分析】判断出函数的单调性，再根据零点存在定理判断即可.
【解答】解：，
与在上均为单调递增函数，
所以在上单调递增，
又因为，
所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
【点评】本题考查了指数函数､一次函数的性质，重点考查了零点存在定理，属于基础题.
4.【分析】推导出，再由，能求出结果.
【解答】解：，
，
.
故选：A.
【点评】本题考查根式的化简､求值，考查有理数指数幂､根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
5.【分析】由已知或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解集.
【解答】解：因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，
所以或，即或，
解得或，
综上，满足原不等式的的取值范围是.
故选：A.
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题.
6.【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B､D选项，再根据的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案.
【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得，
故二次函数的对称轴位于轴的左侧，故排除B､D.
对于选项C，由二次函数的图象可得，且函数的零点，
则指数函数应该单调递增，故C不正确.
综上可得，应选A.
故选：A.
【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出的
正负情况是求解的关键，属于基础题.
7.【分析】先根据偶函数，代入特殊值求出参数，再代入化简，合理构造，再使用均值不等式可得.
【解答】解：定义在上的偶函数，
，
，
，
，
正实数满足，
，即，
，当且仅当时，即，取等号
故选：B.
【点评】本题考查奇偶性，均值不等式，属于基础题.
8.【分析】依题意，可求得的解析式，经过换元，利用复合函数的单调性可求得在上的值域，继而求得在上的值域，依题意，可得，解之即可.
【解答】解：对任意的实数恒成立，
的图象关于直线对称，
，且，
即①，且②，
联立①②得，
（*）
令，则在单调递减，在上单调递增，可得；
则（*）式可化为在单调递减，
由复合函数的单调性可知，在单调递增，在上单调递减，
；又，
；③
又，当时，，由对勾函数的单调性知，在单调递减，在上单调递增，
在单调递增，在上单调递减，
，
；④
对，使，
由③④得，即，解得，
故选：B.
【点评】本题考查函数恒成立问题､存在性与任意性问题，考查函数与方程思想､转化与化归思想的综合运用，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得.5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.【分析】求出函数的定义域可判断A；由同一函数的定义可判断B；由奇偶性可判断C；由方程组法求出可判断D.
【解答】解：对于A：由解得或，
所以函数的定义域为，故A正确；
对于B：的定义域为的定义为，
定义域不相同，所以和不是同一个函数，故B错误；
对于C：的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
所以函数的图象关于坐标原点对称，故正确；
对于D：因为函数满足，
所以，
解得，故D错误；
故选：AC.
【点评】本题主要考查了函数概念的考查，属于基础题.
10【【分析】直接利用不等式的性质，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系数的关系，四个条件中充分条件和必要条件的应用判定A､B､C､D的结论.
【解答】解：对于：若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B：“方程有一个正根和一个负根”则，整理得，
则“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于：若，则对于一元二次不等式，
当时，“对恒成立”的充要条件是“”故错误；
对于：当“”时“”成立，
当“”时，“或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确.
故选：BD.
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系数的关系，四个条件中充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.
11.【分析】根据，且，结合基本不等式即可.
【解答】解：均为正数，且，
由基本不等式可得，，解得，
当且仅当，即时等号成立，故A选项错误；
，当且仅当即时，等号成立，故选项正确；
，
结合二次函数的性质可知，，故C选项正确；
，故D错误.
故选：BC.
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.
12.【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，结合选项判断即可.
【解答】解：由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，，而，
易知，此时也有2个零点，故，故A正确；
，故B错误；
的4个零点满足，则是方程的两个根，
则且，所以，故C正确；
由C选项知，，
由，得，而函数在上单调递减，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标.
【解答】解：令，求得，且，
故函数且恒过定点，
故答案为.
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题.
14.【分析】利用函数单调性的定义先判断出数在上为单调递增，然后两段函数均为单调递增函数结合交界点处函数值的大小，列出不等关系式，求解即可.
【解答】解：因为对任意都有，
所以函数在上为单调递增，
又函数，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数单调性定义的理解与应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.
15.【分析】由奇函数性质先求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式.
【解答】解：因为是定义域为的奇函数，当时，，
所以，即，
此时，
则当时，，
，
所以.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题.
16.【分析】由可知，函数的图象每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，画出函数的大致图像，由图象可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，当时，可求得，令即可求出另外2个零点.
【解答】解：由可知，函数的图象每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，
当时，，
作出函数的大致图像，如图所示
当时，函数的零点，即方程的根，
由图象可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，
当时，则，
，
又，即，
，即，
令得，解得或，
当时，函数的零点是.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【分析】（1）直接由补集和交集的概念即可得出所求的答案；（2）由题意可得⫋，分三种情况讨论：当时，当时和当时，分别求出集合并结合真子集的概念即可得出的取值范围.
【解答】解：（1）若，则，
或.
（2）若是的必要不充分条件，则⫋
而，
当时，，符合⫋；
当时，，若⫋，则，解得，
或，解得
当时，，若⫋，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为或或.
【点评】本题考查充分条件与必要条件､集合间的基本关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属中档题.
18.【分析】（1）利用韦达定理即可求解；（2）利用二次函数的图象可知不等式的解集为，则图象不在轴下方，所以开口向上且判别式小于0即可求解；（3）利用二次方程根的分布即可求解.
【解答】解：（1）因为的解集为，
所以1和4是方程的两根，
由根与系数关系可得，所以；
（2）因为的解集为，
所以，解得，所以实数的取值范围为；
（3）令，由的解集为的子集，所以有：
当的解集为空集时，
有，解得，
当的解集不是空集时，
令，结合二次函数图像有，即，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
【点评】本题考查三个二次相关式，属于中档题.
19.【分析】（1）根据分段函数的性质，即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
（2）根据分段函数的性质，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案.
【解答】解：（1），
当时，，
当时，，
综上所述，；
（2）由（1）得，
当时，则，
当时，；
当时，则，当且仅当，即时，等号
成立，此时，
，
该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.
【点评】本题考查分段函数的性质，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
20.【分析】（1）直接利用赋值法求出的值.利用函数的指数函数的性质，进一步进行关系式的转换，从而得到函数的单调性.
（3）利用函数的单调递增和奇函数的性质，进一步转换为利用二次函数的性质求出结果.
【解答】解：（1）由于定义域为的函数是奇函数，
故：令，
得到：，
即：，
解得：.
（2）由，
得到：函数.
由于为增函数，
所以：为减函数，
故：为增函数，
所以：为增函数.
即：函数的单调性为增函数.
（3）对任意的，不等式恒成立，
即：，
由于为增函数，
当时，恒成立.
故：，
所以：，
即：，
，
则：，
故：的取值范围是：.
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质奇偶性的应用，函数的单调性的应用，函数的恒成立问题的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
21.【分析】（1）用赋值法先求出，再令，即可得证；
（2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可；
（3）对任意的恒成立，即恒成立，进而得到答案.
【解答】证明：（1）：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，则，
，
令，则，
，
是奇函数；
解：（2）任取，且，由题意得，，
，
，
，
又，
在上为减函数.
，所以，
，
，
即，解得，
不等式的解集为.
（3）由（2）知在上为减函数，
在上的最大值为，
要使对任意的恒成立，
只要，即恒成立，
令，
则，即
即，
解得或.
故实数的取值范围是.
【点评】本题考查了判断抽象函数的奇偶性､单调性及利用单调性解不等式，也考查了转化思想，属于中档题.
22.【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解；
（2）①由（1）知，，不等式可化为，令，则，利用配方法求不等式右侧的最小值，则答案可求；
②方程可化为：，令，则
方程化为，设方程有两个，由题意可得或，转化为关于的不等式组求解.
【解答】解：（1），
在上单调递增，
故解得；
（2）①由（1）知，，
，
不等式可化为，
即，令，则，
，原命题等价于.
记，则，
的取值范围是；
②方程可化为：
，
令，则方程化为.
方程有三个不同实数解，
由的图象知，
方程有两个，
且或.
记.
则或，解得.
实数的取值范围是.
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，考查化归与转化､数形结合思想､函数与方程思想，考查运算求解能力，属难题.