上海市徐汇中学2024--2025学年九年级上学期数学10月月考试卷（解析版）

这是一份上海市徐汇中学2024--2025学年九年级上学期数学10月月考试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( )
A. msin35°B. mcs35°C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A.
考点：锐角三角函数定义.
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
∵，
∴，
解得：CD=3cm，BD=5cm，
∴BC=4cm．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
3. 如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）
A. 9米B. 28米C. 米D. （14+2）米
【答案】D
【解析】
【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点，根据三角函数进行求解即可；
解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE=8sin30°=4（米）；CE=8cs30°=4（米）；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF=2DE=8（米），
∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4（米），
∴电线杆AB的长度是（28+4）=14+2米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
4. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）．
A. a米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在图形中利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．作交的延长线于点E，构造直角三角形．用含的式子表示出，即可得出答案．
解：作交延长线于点E，
∴，
∵，
两建筑物的水平距离为a米，
米，
∴，
∴，
故选：D．
5. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A. 米2B. 米2C. 米2D. 米2
【答案】D
【解析】
解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanθ，
∴所需地毯的长度为AC+BC=4+4tanq（米）．
面积为：（4+4tanq）×1=4+4tanθ（米2）．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．
6. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A. 160mB. 120mC. 300mD. 160m
【答案】A
【解析】
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，
求得BD=AD•tan30°=120×=40m，
在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan60°=120×=120m，所以BC=BD+CD=160m．
故答案选A．
考点：解直角三角形应用.
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 已知线段AB=10cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC的长是______cm．
【答案】15－5
【解析】
根据黄金分割点的性质可得：BC=AB=×10=15－5cm．
故答案是：15－5
8. 抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m=_____．
【答案】﹣2．
【解析】
解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，
∴0=m2﹣4，
∴m=±2，
当m=2时，m﹣2=0，
∴m=﹣2．
故答案为﹣2．
9. 已知地图比例尺为，地图上面积为10平方厘米，则实际面积为______平方千米．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查的是比例尺，根据比例尺即可求出图上面积与实际面积之比，从而求出实际面积．
解：比例尺为，
图上面积与实际面积的比为，
实际面积为，
故答案为：10．
10. 抛物线与x轴有交点，则m范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有交点，那么与二次函数对应的一元二次方程有实数根，据此根据一元二次方程的判别式结合二次项系数不为0进行求解即可．
解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴且，
故答案为：且．
11. 已知，如图，，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先根据两边成比例且夹角相等得出，可得出，进而求出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 某人沿着坡度的山坡起点向上走了50米，则他离地面__________米高．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理，设某人沿着坡度的山坡走了米时的竖直高度为x米，则此时走的水平距离为米，然后根据勾股定理列方程求解即可．明确坡度的含义是解答此类题目的关键．
解：设某人沿着坡度的山坡走了米时的竖直高度为x米，
则此时走的水平距离为米，
由勾股定理可得，，
解得，（负值已舍去），
故答案：25．
13. 如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______．
【答案】（﹣，）
【解析】
【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=AO=1，AB=OC=3，
根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，
设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3﹣x）2=x2+12，
∴x=，
∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，
即：3=：DF=1：AF，
∴DF=，AF=，
∴OF=﹣1= ，
∴D的坐标为：（﹣，）．
故答案为（﹣，）．
【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
14. 如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则
=__（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
解：连接AC，AG，AC'，
由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，
∴，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴ =，
∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG=AB'，
设AB=AB'=x，
则AG=x，DG=x﹣4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，
∴72+（x﹣4）2=（x）2，
解得x1=5，x2=﹣13（舍去），
∴AB=5，
∴Rt△ABC中，AC===，
∴ = =．
故答案为．
15. 如图，在中，已知为边上的高，正方形的四个顶点分别在上，，，__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，由四边形是正方形可得，进而证明，由对应线段成比例可得，即可求解．
解：如图，设与交于点K，
四边形是正方形，
，即，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
故答案为：．
16. 在中，，，，则的面积为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点B作交直线于D，再分点D在上，点D在的延长线上两种情况，先解求出，再利用勾股定理求出，，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
解：过点B作交直线于D，
如图所示，当点D在上时，
在，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
如图所示，当点D在的延长线上时，
同理可得，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或，
故答案：或．
17. 如图，已知中，分别为边上的高，过D作的垂线交于E，交于G，交延长线于H．，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明，，再利用相似三角形对应边的比相等建立线段之间的关系，进而求解即可．
解：如图，
∵分别为边上的高，过D作的垂线交于E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
18. 如图，中，，，于点D，将绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么的正切值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，，利用三角形的面积公式求得，进而利用勾股定理和锐角三角函数求得，，，则，由旋转性质和矩形的判定与性质证明四边形是矩形得到，，则，利用平行线性质证得，求解即可求解．
解：由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，
∵，，
∴，，则，
由得，
∴，
∵，，
∴，，则，
由旋转性质得，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键．
三、解答题（本大题7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
解：
．
20. 如图，已知中，，，点D在边AB上，．
（1）求的值．
（2）在图中求作向量：在、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）过点D作于点E．易证，即得出，结合题意又可得出．设，则，从而可求出．根据，可求出，最后根据求解即可；
（2）过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F．再根据分向量的概念即可得解．
【小问1】
解：如图，过点D作于点E．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2】
如图，过点C作于点E，过点A作交的延长线于点F．
∴在、方向上的分向量分别为、．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，解直角三角形，平面向量的相关知识．利用数形结合的思想是解题关键．
21. 如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】．
【解析】
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．
如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，
BD=30，BN：ND=1：，
∴BN=15，DN=，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=，
在RT△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
∴AC=AM+CM=．
【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．
22. 如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区．
【答案】输水管道会穿过居民区
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于C，由题意得，，设，解直角三角形得到，，则可得方程，解方程即可得到答案．
解：如图所示，过点A作于C，
由题意得，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴输水管道会穿过居民区．
23. 如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；
（1）先由平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据线段中点的定义推出，进而得到，再证明，得到，则，即；
（2）根据已知条件可以设，，则，．通过证，得到对应角．然后易证，所以，即可求解．
【小问1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
【小问2】
证明：设，，则，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，；
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（1，2），；（3）不存在，理由见解析．
【解析】
解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4
∴P1
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合
∴P2（1，2）
（3）如图设点E，则
①当P1(-1,4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE
=
∴∴
∵点E在x轴下方 ∴
代入得：，即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=
∴∴
∵点E在x轴下方 ∴代入得：
即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．
25. 如图，在边长为12的正方形中，点E为边上的一个动点（与点A、D不重合），，交对角线于点F，交对角线于点G，交于点M．
（1）如图1，联结，求证：，并直接写出的值；
（2）联结，如图2，若设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当M为边的三等分点时，求的面积．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）15或
【解析】
【分析】（1）通过正方形性质得，，进而证明，利用相似三角形性质即可解题，
（2）根据相似得，即，进而求出，在直角三角形中利用勾股定理即可解题，
（3）利用三等分点，分类讨论M的位置，求出和的长即可解题．
【小问1】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2】
解：如图，过点E作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴；
【小问3】
解：当时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，同理可得，
∴，则，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
综上所述，的面积为15或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数解析式的实际应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，综合性强，难度较大，证明三角形相似，熟悉相似的性质是解题关键．