江西省吉安市白鹭洲中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

这是一份江西省吉安市白鹭洲中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了若，则有，设，下列说法中错误的是，若正数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
命题教师：姚爱华 审题教师：李芹
考生注意：
1.本试卷设卷Ⅰ、Ⅱ卷两部分，试卷所有答题都必须写在答题卷上.
2.答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.
3.考试时间为120分钟，试卷满分为150分.
一、单选题（每题5分，共40分）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.下列命题中正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，，则D.若，，则
4.若，则有（ ）
A.最小值0B.最大值2C.最大值D.不能确定
5.设，下列说法中错误的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“，”是“，”的充要条件
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“”是“”的充分不必要条件
6.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.B.C.D.
7.若关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A.5B.6C.8D.9
二、多选题（每题6分，共18分.部分选对得部分分，选错不给分）
9.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
10.若正数，满足，则（ ）
A.B.C.D.
11.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则且
B.若，则关于的不等式的解集也为
C.若，则关于的不等式的解集为，
D.若，且，则的最小值为
三、填空题（每题5分，共15分）
12.设，，若，则实数的取值集合为_____.
13.二次函数在区间上的最大值为5，则实数的值为_____.
14.若不等式对于任意正实数、成立，则的范围为_____.
四、解答题（共77分）
15.（满分13分）
已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16.（满分15分）
已知，为正数，且.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
17.（满分15分）
设二次函数.
（1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围.
18.（满分17分）
如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？
19.（满分17分）
定义：已知集合（），，，则称为“有界恒正不等式”.
（1）当时，判断是否为“有界恒正不等式”；
（2）设为“有界恒正不等式”，求的取值范围.
白鹭洲中学2024—2025学年上学期高一年级第一次月考
数学试卷答案
一、单选题（每题5分，共40分）
1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. C
二、多选题（每题6分，共18分.部分选对得部分分，选错不给分）
9. AC 10. BCD 11. ACD
【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，
则一元二次不等式恒成立，
∴且，故A正确；
B选项，令（），则、、，
∴可化为，
当时，可化为，其解集不等于，故B错误；
C选项，若，
则，且和2是一元二次方程的两根，
∴，且，∴，，
∴关于的不等式可化为，
可化为，∵，∴，解得或，
即不等式的解集为，故C正确；
D选项，∵，
∴且，∴，
∵，∴，令，则，
∴
，
当且仅当，则，且为正数时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 13. 14.
14.【详解】易知，∴，
∴.令，分式上下同除，
则，则即可，
令，则.
可转化为：，
于是，.
∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）.
四、解答题（共77分）
15.【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16.【详解】（1）证明：由，得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）解：，
当且仅当，即，即或时，等号成立.
故的最小值为12.
.17【详解】（1）对任意实数，恒成立，
即，恒成立，
即
（2）存在，使得成立，即，
只需成立，即需成立，
因为，所以（当且仅当时等号成立），
则，所以，
综上得实数的取值范围是：.
18.（满分17分）
【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
所以有，整理得（）.
（2）由（1）知，即，
因为，，所以由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.
19.（满分17分）【详解】（1）当时，，
不等式，解得或，
设此不等式解集为，得
∵，∴当时，是“有界恒正不等式”；
（2）设的解集为，则，
由题可得，
①当时，，由得，，
∴，符合题意；
②当时，由得，，
（ⅰ）当，即时，，
又的解集为
∴，符合题意；
（ⅱ）当，即时，
，
由于，则或，解得；
（ⅲ）当，即时，
，，
由于，则或，解得；
综上所述，实数的取值范围为.