重庆市第十一中学2024-2025学年高二上学期第一次定时练习（10月）数学试题（Word版附解析）

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1. 已知是空间一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，， 则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
4. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A. B. C. D.
5. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ）
A. B. 3C. 2D. 5
7. 已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ）
A 32B. 64C. 48D.
8. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A. 点与点关于z轴对称
B. 点与点关于y轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为__________．
13. 四面体中，，，，，则__________．
14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知向量，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
16. 如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.