重庆市外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. 2D.
2. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B. 点第一次到达最高点需要
C. 在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D. 当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
7. 在锐角中，若，则的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8. 正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确是（ ）
A. 若，则与的方向相同或者相反
B. 若，为非零向量，且，则与共线
C. 若，则存在唯一实数使得
D. 若是两个单位向量，且，则
10. 如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. （多选题）设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 在上有且仅有2个零点
C. 若图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D. 若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，动点、从点出发沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、第一次相遇时点走过的弧长为_______.
13. 设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______.
14. 已知向量满足与夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 计算求值：
（1）已知、均为锐角，，，求的值
（2）计算的值
16. 已知，的夹角为，且，，设，.
（1）若，求实数的取值；
（2）时，求与的夹角；
（3）是否存在实数，使得，若存在，求出实数.
17. 已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）若点O满足，证明：．
（2）求的最小值．
18. 设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；
（3）将函数的图象向右平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立．求实数的取值范围
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
（1）若，求．
（2）若，求在上的投影向量斜坐标．
（3）若，，，求的最小值．