湖南师范大学附属中学2022届高三下学期一模数学试卷及参考答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则角所在的象限是（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A 0.1587B. 0.1359C. 0.2718D. 0.3413
4. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. A，M，O三点共线B. M，O，A1，A四点共面
C. B，B1，O，M四点共面D. A，O，C，M四点共面
8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x＞3”，则下列结论正确的是（ ）
A. A与B互斥B. A与B对立
C. D. A与C相互独立
10. 已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（ ）
A. B. （）
C. 的图象关于点（，0）对称D. 为偶函数
11. 在棱长为1的正方体 中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则（ ）
A. 点的轨迹是一条线段B. 直线与可能相交
C. 直线与不可能平行D. 三棱锥的体积为定值
12. 已知正数x，y，z满足，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知是关于x方程的根，则实数_______．
14. 已知，若正数a，b满足，则最小值为_____________.
15. 已知点、在椭圆上，为坐标原点，直线与的斜率之积为，设，若点在椭圆上，则的值为________．
16. 已知函数，若对，，都有，则k取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A的值；
（2）在①MC=2MB，②S△ABM=，③sin∠MBC=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．
18. 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．
（1）若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置；
（2）若AP=AD，AB=AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．
20. 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点．且．
（1）求的方程；
（2）设动直线平行于直线，且与交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．
21. 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．