湖南省长沙市长郡中学2022届高三下学期一模数学试题及参考答案

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和几何意义可得答案.
【详解】，
所以在第四象限.
故选：D．
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，然后直接求即可.
【详解】集合，
集合，，
故选：B．
3. 已知，，，则下列关系正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先将进行变形可得，，无法直接比较与或与，故需要借助于中间量0或1，根据指数性质可得，，所以可以得到，进而可以得到正确答案.
【详解】，，所以；
，所以；
，所以.
综上，.
故选：D.
【点睛】指数与对数比较大小时，需要选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数做比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.
4. 已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，然后利用齐次式的方法求解即可.
【详解】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，
所以，，
故选：B．
5. 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥中，平面，，且．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，取的中点，求出三棱锥外接球的半径，从而求得球面距离；
【详解】如图所示，取的中点，
平面，，且．
则为三棱锥外接球的球心，
，
故选：B
6. 教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A. 60种B. 78种C. 54种D. 84种
【答案】C
【解析】
【分析】由题意每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，利用分组分配的方法求解即可.
【详解】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，
则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，
先将4门学科按1，1，2分成三组，有种方式，
再分到三个学年，有种不同方式，
由分步计数原理得，不同选修方式共有种．
同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，
所以共有种，
故选：C．
7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b的关系，即可求解.
【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
则圆心到渐近线的距离为
所以弦长，
化简得：，
即，
解得
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.
8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出后代入得cs1=sin可得答案，即与最接近.
【详解】
所以cs1=
= sin=sin，由于
与最接近，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 变量y与x之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D；
【详解】解：依题意，，
因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，
故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，
当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，
该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；
故选：AC
10 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用二次函数性质判断B；取特值判断D作答.
【详解】因，，且，则有，当且仅当时取“=”，A不正确；
因，，且，则，，
当且仅当时取“=”，B正确；
因，，且，则，当且仅当时取“=”，C正确；
因，，且，则取，即有，于是得，D不正确.
故选：BC
11. 棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A. 与是异面直线B. 与所成角为
C. 平面平面D. 若，则点的运动轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.
【详解】由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
12. 已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的最小正周期为2
C. 当时，
D. 函数在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：
对于A：由图像可判断函数的中心对称；
对于B：利用图像变换作出函数的图象，即可判断；
对于C：直接求出解析式即可判断；
对于D：利用图像变换作出的图像，即可判断；
【详解】因为函数对任意都有，
所以，即，所以
所以，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.
任取，则，
因为函数对任意都有，即，所以.
所以，
作出的图象如图所示：
对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；
对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；
对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确；
对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13. 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.
【答案】＋＝1
【解析】
【分析】根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程.
【详解】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝·2a＝2，得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为＋＝1.
故答案为：
14. 已知，则__________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用赋值法可得答案.
详解】根据题意，今，得，令，得，
因此，
故答案为：0.
15. 在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是上一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，设出各个点以及点的坐标，根据向量的坐标表示，再利用三角函数求值域的方法得出的取值范围.
【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，，，．
设点，
．
又，则，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：．
16. 设，圆：（）与y轴正半轴的交点为，与曲线的交点为（，），直线与x轴的交点为A（，0），若数列的通项公式为，要使数列成等比数列，则常数__________．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】由条件写出点的坐标，从而得到直线的方程，利用点在直线上和数列的通项公式可以得到，然后根据数列成等比数列以及等比数列的定义即可得到常数的值.
【详解】因为圆：与曲线的交点为，
所以，即，
由题可知，点的坐标为，由直线方程的截距式可得直线的方程为：．
由点直线上得：．
将，代入并化简得：，
即，
所以，
，
令，得：
，
由等式对任意恒成立得：
，即，
解得或
故当时，数列成公比为4的等比数列，
当时，数列成公比为2的等比数列，
故答案为：2或4．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的周长为，面积为，求边c的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用两角和公式以及三角形三个内角的关系即可求解；
(2)运用面积公式和余弦定理即可.
【小问1详解】
，
∵在△ABC中，，
∴，
整理得，
解得，
∵， ∴；
【小问2详解】
△ABC的面积为 即 …①，
△ABC的周长为 …②，
由余弦定理得 …③，
将①②代入③，， 解得；
综上，，.
18. 已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，与已知等式作差，分析可得数列为等差数列，由等差数列通项公式可得答案；
（2）写出数列的通项，然后利用裂项相消求和法求和即可.
【小问1详解】
∵，
∴．
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，
∴为等差数列，通项公式为．
【小问2详解】
∵，
.
19. 已知四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像利用线面关系即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求出各个面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得解.
【详解】连接，
因为是平行四边形的的中点，
所以
又，所以，所以
从而.
因为，所以，所以
作BP的中点M，连接DM，AM
所以，DM⊥BP，AM⊥BP，又
故BP⊥平面ADM，又 平面，所以BP⊥AD.
又面面且
所以平面；
（2）设，则 ，
在中， ①，
在中，，②
联立①②得：，于是，即.
建立如图所示的空间直角坐标系，得
故，设是平面BPC的法向量，
所以，
取得.又AP⊥AD，AP⊥AB，AD∩AB=A，所以AP⊥平面ABCD，
平面 ， 所以AP⊥BD
又BD⊥AC，AC∩AP=A，所以BD⊥平面APC，即是平面APC的一个法向量.
所以
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了求二面角的大小，计算量较大，属于中档题，本题的关键有：
（1）通过线面垂直得到线线垂直，从而得到面线面垂直；
（2）建系，求法向量，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.
20. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为，试求的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）最有可能是79
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得；
（2）首先按照分层抽样求出得分在的人数，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）由（1）知，，根据正态分布的性质求出，记500名学生中得分高于77的人数为，则，根据二项分布的概率公式求出取何值时概率取得最大，即可得解；
【小问1详解】
解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
．
【小问2详解】
解：参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为，，，
所以，，．
所以的分布列为
∴．
【小问3详解】
解：由（1）知，，
所以．
记500名学生中得分高于77的人数为，则，其中，
∴，，1，2，…，500，
则，
当时，，
当时，，
∴得分高于77分的人数最有可能是．
21. 已知抛物线：（）和圆C：，点是上的动点，当直线的斜率为时，的面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若、是轴上的动点，且圆是的内切圆，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）32
【解析】
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，解出点坐标，根据面积为，列式即可求得（2）设，，，利用与与圆相切，可以推出，，代面积的表达式，消元运用均值不等式即可求得最值
【小问1详解】
当直线的斜率为时，联立方程，解得，
此时，解得，
∴抛物线的方程为．
【小问2详解】
设，，，由题意知，
则直线：，即．
∵直线与圆相切，
∴，
∴
同理可得：．
∴、是方程的两个根，
∴，，
且恒成立，
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
面积的最小值为32．
22. 已知函数．
（1）若在定义域内有个零点，求的取值范围；
（2）若，函数在定义域内单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为与在上有个不同的交点的问题，通过导数可求得单调性和最值，进而得到所求取值范围；
（2）根据单调性，将问题转化为，，；利用导数可求得，进一步将问题转化为，，利用导数可求得，由此可得，进而求得的范围.
【小问1详解】
在定义域内有个零点，
与在上有个不同的交点．
令，，
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；，
又，，
时，与在上有个不同的交点，
即的取值范围为.
【小问2详解】
，在上单调递减，
．
令，
问题即转化为：，，．
①当时，在上单调递增，且，不合题意；
②当时，，令，解得：；
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
即，．
令，
，
在上单调递减，且当时，，
，解得：；
综上所述：的取值范围为．
【点睛】思路点睛：本题考查根据函数零点个数求解参数范围、根据函数单调性求解参数范围的问题；利用单调性求解参数范围的基本思路是能够根据导数与函数单调性的关系，将问题转化为关于导函数的恒成立问题的求解，进而通过对于导函数最值的求解来得到参数范围.第x年
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利润y/亿元
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