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湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期开学考试(暑假作业检测)数学试题（原卷及解析版）
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本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集运算可得.
【详解】，
故选：D
2. 已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（ ）
A. ，1B. 1，C. 1，1D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由，得，得，
所以解得
故选A.
3. 设P双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A. 1B. 17C. 1或17D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（ ）
A. 36B. 42C. 50D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为，
高三年级被抽取的人数为人.
故选：D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则，解得，
又，解得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是，
故选：B
6. 已知，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以；
因为，所以，
又，所以，
所以，
又
所以
.
故选：B.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，
②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，
综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.
故选：B.
8 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，，利用导数判断其单调性，进而可得；令，，利用导数判断其单调性，进而可得.
【详解】令，，则，
则在上单调递减，所以，
可知对任意的恒成立，可得，即；
对于，，由，.
令，，则，
则在上单调递增，所以，
即，所以.
综上所述：.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：
在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直，线线平行的性质可得，故D正确.
故选：ABC.
10. 已知圆，以下四个结论正确的是（ ）
A. 过点与圆M相切的直线方程为
B. 圆M与圆 相交
C. 过点可以作两条直线与圆M相切
D. 圆M上的点到直线的距离的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
对于A，点在圆M上，圆心M到直线距离为1，
即过点与圆M相切的直线方程为，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，
则有，即圆M与圆N外离，B不正确.
对于C，点在圆M外，则过点可以作两条直线与圆M相切，C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
则圆M上的点到直线的距离的最大值为，D正确；
故选：ACD
11. 在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B.
C. 以为直径的圆的方程是
D. 、、三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，结合，求出的值，可判断A选项；将点的坐标代入抛物线的方程，结合求出的值，可判断B选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据、的关系可判断D选项.
【详解】对于A，因为在抛物线上，所以，又，解得，
所以，抛物线的方程为，故A正确；
对于B，因为在抛物线上，所以，
又，解得，故B正确；
对于C，，，则以为直径的圆的圆心为，
半径，
所以，以为直径的圆的方程是，
即，故C错误；
对于D，因为、、，
所以，，所以，
所以，，三点共线，故D正确.
故选：ABD.
12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ）
A.
B.
C. 不存在，使得
D. 存在，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】设，根据题意求得在上恒成立，得到在上单调递增，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，所以在上恒成立，
且不恒为0，所以在上单调递增，
对于A中，因为，所以，即，
但不能推得，所以A错误；
对于B中，由于，所以，即，所以.所以B正确；
对于C中，假设，则，又在上单调递增，
所以，取，能使等式成立，故存在，使得.所以C错误；
对于D中，存在，使得（如，满足且），
则，即，即，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】知识方法：构造法求解与共存问题的求解策略：
（1）对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
（2）常见类型：①型；②型；③为常数型.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据模长的坐标表示可得，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：4.
14. 设等差数列的前项和为，已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数，则______．
【答案】2022
【解析】
【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得.
【详解】易知函数的最小正周期，
而
，
由周期性知，这样连续六项的和均为，
而共有项，，
所以．
故答案为：
16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，由正弦定理化简求得，即可求解；
（2）由（1）得到，结合三角形的面积公式，求得，利用余弦定理列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
可得，所以，
又因为，可得，
所以，
由正弦定理得，
所以，
由于，所以，则，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：由，可得，则，解得，
由余弦定理得，
因为，可得，所以.
18. 已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得，结合与的关系式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以，，
又因为，得，，
因为，所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时，，
两式相减可得，
当时，，适合上式，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
所以，所以，
所以.
19. 如图所示，直三棱柱中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意证得平面，得到，进而证得平面，利用你线面垂直的性质，即可证得；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为三棱柱为直三棱柱，且，，
在直角与直角中，可得，
所以，所以，
所以，所以.
因为底面，底面，所以，
又，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以.
小问2详解】
解：以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立的空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得 ，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；
（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.
【小问1详解】
补全的2×2列联表如下：
零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.
根据表中数据，计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.
【小问2详解】
设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，
则，，，
由题意，X可取．
，，
，，
，
所以X的分布列为：
.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到的内切圆的半径为，求得，得到，结合，进而求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得的面积，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：椭圆半焦距为，
因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，
又因为是等边三角形，所以，即，
解得，所以，
可得，则，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由，则点，
由题意知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
且，，
联立方程组，整理得，
由，可得.
且，，
所以的面积，
当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若在处的切线方程平行于直线，求的值以及此时的切线方程；
（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，根据题意得到，求得，进而求得切线方程；
（2）根据题意转化为方程在上有两个不同的实数根，进而得出方程，令，求得在上单调递增，转化为有两个不同的实根，令，求得函数单调性与最值，再由，令，得出函数的单调性，得出，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
因为在处的切线方程平行于直线，
所以，即，解得，则，
可得，故在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由，得，
两边同时取对数得，即，可得，
可得，则，
所以关于的方程在上有两个不同的实数根，
因为，所以，
令，则，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以；
当时，，没有零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，只有一个零点；
当时，，，，
令，则，即在上单调递增，
所以，即.
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可得，实数的取值范围是.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.一般
激动
总计
男性
90
120
女性
25
总计
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一般
激动
总计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
总计
55
145
200
X
200
150
100
50
0
P
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集运算可得.
【详解】，
故选：D
2. 已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（ ）
A. ，1B. 1，C. 1，1D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由，得，得，
所以解得
故选A.
3. 设P双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A. 1B. 17C. 1或17D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（ ）
A. 36B. 42C. 50D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为，
高三年级被抽取的人数为人.
故选：D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则，解得，
又，解得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是，
故选：B
6. 已知，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以；
因为，所以，
又，所以，
所以，
又
所以
.
故选：B.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，
②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，
综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.
故选：B.
8 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，，利用导数判断其单调性，进而可得；令，，利用导数判断其单调性，进而可得.
【详解】令，，则，
则在上单调递减，所以，
可知对任意的恒成立，可得，即；
对于，，由，.
令，，则，
则在上单调递增，所以，
即，所以.
综上所述：.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：
在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直，线线平行的性质可得，故D正确.
故选：ABC.
10. 已知圆，以下四个结论正确的是（ ）
A. 过点与圆M相切的直线方程为
B. 圆M与圆 相交
C. 过点可以作两条直线与圆M相切
D. 圆M上的点到直线的距离的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
对于A，点在圆M上，圆心M到直线距离为1，
即过点与圆M相切的直线方程为，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，
则有，即圆M与圆N外离，B不正确.
对于C，点在圆M外，则过点可以作两条直线与圆M相切，C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
则圆M上的点到直线的距离的最大值为，D正确；
故选：ACD
11. 在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B.
C. 以为直径的圆的方程是
D. 、、三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，结合，求出的值，可判断A选项；将点的坐标代入抛物线的方程，结合求出的值，可判断B选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据、的关系可判断D选项.
【详解】对于A，因为在抛物线上，所以，又，解得，
所以，抛物线的方程为，故A正确；
对于B，因为在抛物线上，所以，
又，解得，故B正确；
对于C，，，则以为直径的圆的圆心为，
半径，
所以，以为直径的圆的方程是，
即，故C错误；
对于D，因为、、，
所以，，所以，
所以，，三点共线，故D正确.
故选：ABD.
12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ）
A.
B.
C. 不存在，使得
D. 存在，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】设，根据题意求得在上恒成立，得到在上单调递增，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，所以在上恒成立，
且不恒为0，所以在上单调递增，
对于A中，因为，所以，即，
但不能推得，所以A错误；
对于B中，由于，所以，即，所以.所以B正确；
对于C中，假设，则，又在上单调递增，
所以，取，能使等式成立，故存在，使得.所以C错误；
对于D中，存在，使得（如，满足且），
则，即，即，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】知识方法：构造法求解与共存问题的求解策略：
（1）对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
（2）常见类型：①型；②型；③为常数型.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据模长的坐标表示可得，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：4.
14. 设等差数列的前项和为，已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数，则______．
【答案】2022
【解析】
【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得.
【详解】易知函数的最小正周期，
而
，
由周期性知，这样连续六项的和均为，
而共有项，，
所以．
故答案为：
16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知分别为内角的对边，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，由正弦定理化简求得，即可求解；
（2）由（1）得到，结合三角形的面积公式，求得，利用余弦定理列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
可得，所以，
又因为，可得，
所以，
由正弦定理得，
所以，
由于，所以，则，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：由，可得，则，解得，
由余弦定理得，
因为，可得，所以.
18. 已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得，结合与的关系式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，求得，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以，，
又因为，得，，
因为，所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时，，
两式相减可得，
当时，，适合上式，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
所以，所以，
所以.
19. 如图所示，直三棱柱中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意证得平面，得到，进而证得平面，利用你线面垂直的性质，即可证得；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为三棱柱为直三棱柱，且，，
在直角与直角中，可得，
所以，所以，
所以，所以.
因为底面，底面，所以，
又，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以.
小问2详解】
解：以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立的空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得 ，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；
（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.
【小问1详解】
补全的2×2列联表如下：
零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.
根据表中数据，计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.
【小问2详解】
设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，
则，，，
由题意，X可取．
，，
，，
，
所以X的分布列为：
.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到的内切圆的半径为，求得，得到，结合，进而求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得的面积，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：椭圆半焦距为，
因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，
又因为是等边三角形，所以，即，
解得，所以，
可得，则，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由，则点，
由题意知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
且，，
联立方程组，整理得，
由，可得.
且，，
所以的面积，
当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若在处的切线方程平行于直线，求的值以及此时的切线方程；
（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，根据题意得到，求得，进而求得切线方程；
（2）根据题意转化为方程在上有两个不同的实数根，进而得出方程，令，求得在上单调递增，转化为有两个不同的实根，令，求得函数单调性与最值，再由，令，得出函数的单调性，得出，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
因为在处的切线方程平行于直线，
所以，即，解得，则，
可得，故在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由，得，
两边同时取对数得，即，可得，
可得，则，
所以关于的方程在上有两个不同的实数根，
因为，所以，
令，则，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以；
当时，，没有零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，只有一个零点；
当时，，，，
令，则，即在上单调递增，
所以，即.
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可得，实数的取值范围是.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.一般
激动
总计
男性
90
120
女性
25
总计
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一般
激动
总计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
总计
55
145
200
X
200
150
100
50
0
P
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