2021-2022-1雅礼中学高二12月数学测试卷及参考答案

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一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
13.14.15.16.
四、解答题
17.【解析】(1)∵，
∴，
∴，
∴.
(2)由(1)知，，
∵，则，
∴，
∴的最大值为，最小值为.
18.【解析】(1)在等差数列中，，设数列的公差为，
则，
解得，.
∴的通项公式.
(2)∵，，
∴的前项和，
∴当时，取最小值为.
19.【解析】(1)由消去得，，
由已知得，，解得，
故实数的取值范围是.
(2)设圆的半径为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，由已知得，
解得.
20.【证明】(1)取的中点，连接，，
又∵是的中点，
∴，，
∵，，
∴，且
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
(2)以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，则.
设平面的一个法向量为，则，
令，则.
∵，
∴二面角的平面角的余弦值为.
21.【解析】(1)在椭圆中，，
所以，，
(2)设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，，中点为，
则，，，，
设，，则，
两式相减得，
所以，，，
所以，
解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，
所以或，
，
时，，时，，所以面积的最大值为.
22.【解析】(1)当时，，
当时，，此时函数为增函数；
当时，，此时函数在上为减函数，在上为增函数；
综上可知，的单调递增区间为和，
(2)由题意得
①当时，若，则；
若，则，此时在上单调递增，
所以.
②当时，若，则；
若，则，此时在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以.
③当且，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，
所以.
④当且，即时，此时在上单调递增，
所以，
综上可知，.1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
A
C
B
A
B
D
9
10
11
12
AC
BC
BCD
ACD