[数学]湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以．
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】C
【解析】对于，当时，，所以是假命题，是真命题．
对于，当时，是真命题，是假命题．
故选：C.
3. 已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为，所以，
故其非空真子集的个数为．
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，
若，当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，不等式不成立，错误；
对于B，当时，满足，但，错误；
对于C，因为，而，所以，则，正确；
对于D，当时，满足，不等式不成立，错误．
故选：C.
6. 设集合，则（ ）
A. B.
C. ⫋D.
【答案】D
【解析】由题意可得，⫋，故A，C均错误；
，D正确；
，B错误.
故选：D.
7. 时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（ ）
A. 50B. 51C. 52D. 53
【答案】A
【解析】因为同时对人工智能和新能源汽车感兴趣有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人，
所以同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有人，
同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有人，
同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有人，
因为有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，
所以只对人工智能感兴趣的有人，
只对新能源汽车感兴趣人，
只对绿色能源感兴趣人，
所以所求该班级学生的人数为．
故选：A.
8. 在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 整数属于同一“类”充分不必要条件是“”
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，A错误；
对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，
所以，又，
所以，B错误；
对于C，若，则，
所以；
若，则，不妨设，
则，所以，
所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”．
故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误；
对于D，由，可设，
则，
因为，所以，D正确．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列对象能构成集合的有（ ）
A. 接近于2025的所有正整数B. 小于的实数
C. 未来10年内的房价趋势D. 点与点
【答案】BD
【解析】对于A，接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合；
对于B，小于的实数是确定的，能构成集合；
对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；
对于D，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合．
故选：BD.
10. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，且，所以，
则，当且仅当时等号成立，正确；
对于B，由，得，又，所以，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对于C，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，错误；
对于D，由，
当且仅当，即时等号成立，正确．
故选：ABD.
11. 已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】当时，由，可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，此时不存在；
当时，由对任意的恒成立，
作出的大致图象，如图所示：
由题意可知，又是整数，
所以或或.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“”的否定为_______．
【答案】
【解析】全称量词命题“”的否定为
存在量词命题“”．
13. 当时，二次函数的最小值为，则______．
【答案】
【解析】图象的对称轴为直线．
当时，，
解得或，与矛盾，舍去；
当时，，解得．
综上可知，．
14. 已知关于的不等式只有有限个整数解，且0是其中一个解，则______．
【答案】或
【解析】因为0是的解，所以．
因为只有有限个整数解，所以，
因为，所以或．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．
（1）对任意的实数，都有；
（2）存在实数，使得；
（3）所有的素数都是奇数；
（4）方程的每一个根都是正数．
解：（1）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题．
（2）存在量词命题．
原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题．
（3）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题．
（4）全称量词命题．
原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题.
16. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若是的子集，求的取值范围．
解：（1）由，化简可得，解得或，
所以或；
当时，，故．
（2）由于是的子集，当时，则，解得，
满足是的子集；
当时，则满足，解得．
综上所述，，即的取值范围为．
17. 已知关于的一元二次方程．
（1）若上述方程的两个不同根都是负数，求的取值范围．
（2）上述方程是否存在两根中恰有一个是正数，且为整数？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
解：（1）因为的两个不同根都是负数，
设其根为，则，，
所以且，
解得，即的取值范围为．
（2）由题意，上述方程的两根中恰有一个是正数，由（1）可知，
若该方程有一正一负根，则，解得，无整数解；
若该方程有一正根一零根，则，解得，此时一元二次方程为，
不满足题意．
故满足条件的整数不存在．
18. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．
（1）证明：．
（2）若改变的长度（矩形的周长保持不变），则的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．
解：（1）设折叠后点变成，
在与中，，
因为，又，
所以，则．
（2）由题意，矩形的周长为．
设，则．
因为为直角三角形，所以，解得，
从而，
所以
当且仅当，即时等号成立，
此时，满足，
故时，的面积取得最大值，为．
19. 若至少由两个元素构成有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
（1）判断是否为“集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“集合”．
解：（1）因为，所以不是“一集合”．
（2）设．
若，则或．
由，解得（舍去），此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
若，则或，
由，解得，此时；
由化为，而，故方程无正整数解．
综上，所有满足条件的集合为．
（3）若“集合”为双元素集，
不妨设，则或，
由，则，而，故，此时；
由，则，而，显然不存在正整数解；
所以，“集合”为，其中．
若“集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为，
则是“集合”中的元素，
若，解得，
若，则，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
故所有满足条件的“集合”为，其中．