河南大附属中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份河南大附属中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，描述了林老师某日傍晚的一段生活过程：他晚饭后，从家里散步走到超市，在超市停留了一会儿，马上又去书店，看了一会儿书，然后快步走回家，图象中的平面直角坐标系中x表示时间，y表示林老师离家的距离，请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是( )
A．林老师家距超市1.5千米
B．林老师在书店停留了30分钟
C．林老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的
D．林老师从书店到家的平均速度是10千米／时
2、（4分）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )
A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
3、（4分）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
4、（4分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°
5、（4分）下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的图形有（ ）
（1）正方形；（2）等边三角形；（3）长方形；（4）角；（5）平行四边形；（6）圆．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6、（4分）如图，在矩形ABCD中，已知，，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）数据－2，－1，0，1，2的方差是( )
A．0B．C．2D．4
8、（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知一次函数y＝2x＋b，当x＝3时，y＝10，那么这个一次函数在y轴上的交点坐标为________．
10、（4分）y＝（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，则m的值是_____．
11、（4分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛．在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是________．
12、（4分）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：，则成绩较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）．
13、（4分）点A（1，3）_____（填“在”、或“不在”）直线y＝﹣x+2上．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了庆祝新中国成立70周年，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，忆峥嵘岁月”新中国成立70周年知识竞赛活动．将随机抽取的部分学生成绩进行整理后分成5组，50～60分（）的小组称为“学童”组，60～70分()的小组称为“秀才”组，70～80分()的小组称为“举人”组，80～90分()的小组称为“进士”组，90～100分()的小组称为“翰林”组，并绘制了不完整的频数分布直方图如下，请结合提供的信息解答下列问题：
（1）若“翰林”组成绩的频率是12.5％，请补全频数分布直方图；
（2）在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在 组；
（3）学校决定对成绩在70～100分()的学生进行奖励，若八年级共有336名学生，请通过计算说明，大约有多少名学生获奖?
15、（8分）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
16、（8分）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，例如: 与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.例如: ；；…….
请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号.
(1)
(2) (n为正整数).
17、（10分）如图，在□ ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF,
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
18、（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，的平分线AE交CD于点F交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接BF、AC、DE，当时，求证：四边形ACED是平行四边形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，，，，则平行四边形ABCD的面积为_________．
20、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
21、（4分）分解因式：2m2-8=_______________．
22、（4分）已知一组数据有40个，把它分成五组，第一组、第二组、第四组、第五组的频数分别是10，8，7，6，第三组频数是________．
23、（4分）一组数据的平均数是则这组数据的方差为__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在▱ABCD中，BC=2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的长．
25、（10分）（1）下列关于反比例函数y=的性质，描述正确的有_____。（填所有描述正确的选项）
A． y随x的增大而减小
B． 图像关于原点中心对称
C． 图像关于直线y=x成轴对称
D． 把双曲线y=绕原点逆时针旋转90°可以得到双曲线y=-
（2）如图，直线AB、CD经过原点且与双曲线y=分别交于点A、B、C、D，点A、C的横坐标分别为m,n（m＞n＞0）,连接AC、CB、BD、DA。
①判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
②当m、n满足怎样的数量关系时，四边形ACBD是矩形？请直接写出结论；
③若点A的横坐标m=3，四边形ACBD的面积为S，求S与n之间的函数表达式。
26、（12分）计算：．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分析：
根据图象中的数据信息进行分析判断即可.
详解：
A选项中，由图象可知：“林老师家距离超市1.5km”，所以A中说法正确；
B选项中，由图象可知：林老师在书店停留的时间为；80-50=30（分钟），所以B中说法正确；
C选项中，由图象可知：林老师从家里到超市的平均速度为：1500÷30=50（米/分钟），林老师从超市到书店的平均速度为：（2000-1500）÷（50-40）=50（米/分钟），所以C中说法正确；
D选项中，由图象可知：林老师从书店到家的平均速度为：2000÷（100-80）=100（米/分钟）=6（千米/时），所以D中说法错误.
故选D.
点睛：读懂题意，“弄清函数图象中每个转折点的坐标的实际意义”是解答本题的关键.
2、B
【解析】
作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.
【详解】
如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,
由已知可得，AD∥BC,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BC=DC
∴四边形ABCD是菱形.
故选B
本题考核知识点：菱形的判定.解题关键点：通过全等三角形证一组邻边相等.
3、C
【解析】
分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．
【详解】
选项A，由平均数的计算方法可得甲、乙得分的平均数都是8，此选项正确；
选项B，甲得分次数最多是8分，即众数为8，乙得分最多的是9分，即众数为9故此选项正确；
选项C，甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，可得甲的中位数是8分；乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9，可得乙的中位数是9分；此选项错误；
选项D，×[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=×2=0.4，=×[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]= ×8=1.6，所以，故D正确；
故答案选C．
考点：算术平均数；中位数；众数；方差．
4、C
【解析】
已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【详解】
当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；
当50°是底角时也可以．
故选C．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
5、C
【解析】
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：
（1）正方形是中心对称图形；
（2）等边三角形不是中心对称图形；
（3）长方形是中心对称图形；
（4）角不是中心对称图形；
（5）平行四边形是中心对称图形；
（6）圆是中心对称图形．
所以一共有4个图形是中心对称图形．
故选：C．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6、B
【解析】
求出AC的长度；证明设为，得到；列出关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】
解：四边形ABCD为矩形，
，；
由勾股定理得：，
；
由题意得：
，
；设为，
，；
由勾股定理得：
，解得：，
．
故选：B．
该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答
7、C
【解析】
先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】
解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2的平均数是：（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0，
∴数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是：．
故选C．
本题考查方差的计算．
8、B
【解析】
根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．
【详解】
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选：．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、 (0，4)
【解析】解：∵在一次函数y=2x+b中，当x=3时，y=10，∴6+b=10，解得：b=4，∴一次函数的解析式为y=2x+4，∴当x=0时，y=4，∴这个一次函数在y轴上的交点坐标为（0，4）．故答案为：（0，4）．
点睛：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10、1
【解析】
根据一次函数的定义可得
【详解】
解：∵y=（2m﹣1）x3m﹣2+3是一次函数，
∴
解得m=1．
故答案为1．
考核知识点：一次函数.理解定义是关键.
11、丙
【解析】
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
详解：∵=5.1, =4.7, =4.5,=5.1，
∴=>>，
∴最合适的人选是丙.
故答案为：丙.
点睛：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
12、乙．
【解析】
方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
【详解】
解：∵S甲2=1．61＞S乙2=1．51，∴成绩较稳定的是是乙．
本题考查方差的意义．方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
13、不在．
【解析】
把A（1，3）代入y＝﹣x+2验证即可.
【详解】
当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，
∴点（1，3）不在直线y＝﹣x+2上．
故答案为：不在．
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标满足一次函数解析式.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.
【解析】
（1）先根据90～100分的人数及其所占百分比求得总人数，再由各组人数之和等于总人数求得60～70分的人数．从而补全图形；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）利用样本估计总体的思想求解可得．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为6÷12.5%=48（人），
∴60～70分的人数为48-（3+18+9+6）=12（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）因为中位数是第24、25个数据的平均数，而第24、25个数据都落在70～80分这一组，
所以在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在70~80或“举人”组，
故答案为70~80或“举人”；
（3）．
答：大约有231名学生获奖．
故答案为（1）详见解析；（2）70~80或“举人”；（3）231.
本题考查频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
15、（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
（1）先提取公因式，然后用完全平方公式进行因式分解；（2）直接用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式，然后用平方差公式进行因式分解；（4）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
=
（3）
=
=
（4）
=
=
本题考查了因式分解方法、乘法公式应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
16、（1）；（2）.
【解析】
（1）与互为有理化因式，根据题意给出的方法，即可求出答案．
(2)与互为有理化因式，根据题意给出的方法即可求出答案．
【详解】
解：（1）
＝
＝
（2）
＝
＝
本题考查了分母有理化，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
17、（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
18、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，即可得∠AEB=∠DAE，由AE是∠BAD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE，所以∠BAE=∠AEB，即可判定AB=BE，由此即可证得结论；（2）已知AB=BE，BF⊥AE，由等腰三角形三线合一的性质可得AF=EF，再证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质可得CF=DF，由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可判定四边形ACED是平行四边形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）∵AB=BE，BF⊥AE，
∴AF=EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠AEC，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴CF=DF，
∵AF=EF，CF=DF，
∴四边形ACED是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质定理及判定定理是解决问题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用已知条件及直角三角形中角所对直角边是斜边的一半即可求出BC、AB的长，在中，利用勾股定理可求出BE的长，以DC为底，BE为高求其面积即可.
【详解】
解：

四边形ABCD是平行四边形


同理可得
在中，

又



故答案为:
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中角所对直角边是斜边的一半及勾股定理的综合运用，灵活运用直角三角形的性质确定线段长度是解题的关键.
20、x≤
【解析】
∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：.
故答案为：.
21、2（m+2）（m-2）
【解析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
2m2-8，
=2（m2-4），
=2（m+2）（m-2）
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法，十字相乘等方法分解．
22、9
【解析】
用总频数减去各组已知频数可得．
【详解】
第三组频数是40-10-8-7-6=9
故答案为：9
考核知识点：频数．理解频数的定义是关键．数据的个数叫频数．
23、8
【解析】
根据平均数的公式计算出x后，再运用方差的公式即可解出本题．
【详解】
x=6×5−2−6−10−8=4，
S=[(2−6) +(6−6) +(4−6) +(10−6) +(8−6) ]=×40=8，
故答案为：8.
此题考查算术平均数，方差，解题关键在于掌握运算法则
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴BEBC，AFAD，
∴BE=AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴平行四边形ABEF是菱形．
（2）过点O作OG⊥BC于点G，如图所示，
∵E是BC的中点，BC=2AB，
∴BE=CE=AB=1．
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴BE=CE=AB=1，∠OBE=30°，∠BOE=90°，
∴OE=2，∠OEB=60°，
∴GE=1，OGGE，
∴GC=GE+CE=5，
∴OC2．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25、（1）ABCD；（2）①见解析；②∴当时，四边形ACBD是矩形；
③S=
【解析】
（1）由反比例函数的性质可得.
（2）①根据对称的性质可得四边形ABCD的对角线互相平分，则一定是平行四边形；②由四边形ACBD是矩形时：OA=OC得出 利用长度公式得 可得关系式：整理化简即可。
③可得A(3,2)进而求出 的表达式，代入S=可得S与n的关系式.
【详解】
解（1）ABCD均正确
（2）①根据对称性可知：OA=OB,OC=OD,则四边形ACBD是平行四边形。
②当四边形ACBD是矩形时：OA=OC
∴
∵点A、C的横坐标分别为m,n
∴
∴
∴
∴
∵m＞n＞0
∴
∴当时，四边形ACBD是矩形
③∵
当m=3时，A(3,2)
∴
=
=
=
∴四边形ACBD的面积为S=
本题考查了反比例函数及几何图形的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键.
26、
【解析】
根据分式的基本运算法则，先算括号内，再算除法.
【详解】
试题分析：
解：
考点：实数的运算；本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握实数的基本运算规则，即可完成.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.5
9.5
9.5
9.5
方差/环2
5.1
4.7
4.5
5.1