湖北省黄梅实验学校2023-2024学年八年级数学上学期期中测试题（解析版）

这是一份湖北省黄梅实验学校2023-2024学年八年级数学上学期期中测试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cmB．3cm，3cm，6cmC．5cm，8cm，2cmD．4cm，5cm，6cm
3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD=BC
5．三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
6．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=( )
A．30°B．35°C．40°D．50°
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为( )
A．30°B．30°或150°C．60°或150°D．60°或120°
8．下列图形中有稳定性的是( )
A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形
9．正n边形的内角和等于1080°，则n的值为( )
A．7B．8C．9D．10
10．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )
A．90°B．75°C．70°D．60°
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
11．等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为__________．
12．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是__________．
13．△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=__________．
14．如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一个条件是__________（只需添加一个你认为适合的）
15．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后，得到的多边形是__________．
16．在△ABC中，点D是BC边上的中点，如果AB=10厘米，AC=12厘米，则△ABD和△ACD的周长之差为__________，面积之差为__________．
17．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为__________．
18．在△ABC中，∠A=34°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为__________．
19．一个多边形的一个顶点出发有5条对角线，这是一个__________边形．
20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是__________．
三、解答题：本大题共10小题，共40分。
21．某地区要在区域S内 （即∠COD内部） 建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若△ABC、△ABD的周长分别为20cm、16cm，求AD的长．
23．如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
24．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：△ABC≌△DEF．
25．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN是过点A的任一直线，BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E．求证：BD﹣CE=DE．
26．如图，A、B两村和一条小河，要在河边L建一水厂Q向两村供水，若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？请将上述情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
27．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E．求证：DE=DB+EC．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
29．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．
求证：BE=BD．
30．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？
并证明你的结论．
2023年秋八年级（上）期中考试数学试卷答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。将答案填在表格内。
1．在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
【解答】解：只有C沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故选C．
【点评】轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cmB．3cm，3cm，6cmC．5cm，8cm，2cmD．4cm，5cm，6cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+3=5，不能组成三角形；
B、3+3=6，不能组成三角形；
C、2+5＜8，不能组成三角形；
D、4+5＞6，能够组成三角形．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD=BC
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF=110°，则∠1=( )
A．30°B．35°C．40°D．50°
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】探究型．
【分析】先根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠EFG的度数，根据平角的定义即可得出∠1的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，∠AEF=110°，
∴BFE=180°﹣∠AEF=180°﹣110°=70°，
∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，
∴∠EFG=∠BFE=70°，
∴∠1=180°﹣∠BFE﹣∠EFG=180°﹣70°﹣70°=40°．
故选C．
【点评】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为( )
A．30°B．30°或150°C．60°或150°D．60°或120°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图1，
∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠A=90°﹣∠ABD=30°；
如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=30°，
∴∠BAC=180°﹣∠BAD=150°；
∴顶角的度数为30°或150°．
故选B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
8．下列图形中有稳定性的是( )
A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】稳定性是三角形的特性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：C．
【点评】稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．
9．正n边形的内角和等于1080°，则n的值为( )
A．7B．8C．9D．10
【考点】多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：由题意可得：
（n﹣2）×180°=1080°，
解得n=8．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )
A．90°B．75°C．70°D．60°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
11．等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为5．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】分1是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1=2，
∴不能组成三角形；
②1是底边时，三角形的三边分别为1、2、2，
能组成三角形，
周长=1+2+2=5，
综上所述，三角形的周长为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
12．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【解答】解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=140°．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】求出∠ABC+∠ACB度数，根据角平分线求出∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=40°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=×80°=40°，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣40°=140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
14．如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，只需增加一个条件是AC=AE（只需添加一个你认为适合的）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据三角形全等的条件可得出AC=AE，∠C=∠E，∠B=∠D都可以．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AD，
∴添加AC=AE，根据SAS即可得证；
或添加∠C=∠E，根据AAS即可得证；
或添加∠B=∠D，根据ASA即可得证．
故答案为AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，本题是个简单的开放型题目，要熟练掌握．
15．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后，得到的多边形是菱形．
【考点】剪纸问题．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形．
【解答】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，
由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边．故填菱形．
【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．
16．在△ABC中，点D是BC边上的中点，如果AB=10厘米，AC=12厘米，则△ABD和△ACD的周长之差为2，面积之差为0．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
【分析】直接利用三角形中线的定义得出BD=DC，进而得出△ABD和△ACD的周长之差与面积之差．
【解答】解：如图所示：∵点D是BC边上的中点，如果AB=10厘米，AC=12厘米，
∴△ABD和△ACD的周长之差为：AC+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD=AC﹣AB=2（cm），
则S△ABD=S△ADC，即面积之差为：0．
故答案为：2，0．
【点评】此题主要考查了三角形的中线以及三角形的面积等知识，正确把握三角形中线的定义是解题关键．
17．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为18cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质知，EA=EC．△EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+AE=BC+AB．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC．
△EBC的周长=BC+BE+EC，
=BC+BE+AE，
=BC+AB，
=8+10，
=18（cm）．
故答案为：18cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，内容单一，属基础题．
18．在△ABC中，∠A=34°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为106°．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形内角与外角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得答案．
【解答】解：如图：
∵∠1=∠A+∠B，∠A=34°，∠B=72°，
∴∠1=34°+72°=106°，
故答案为：106°．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
19．一个多边形的一个顶点出发有5条对角线，这是一个八边形．
【考点】多边形的对角线．
【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3=5，
解得n=8．
故多边形的边数为8，即它是八边形．
故答案为八．
【点评】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过n边形的一个顶点的所有对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形．
20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是42．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
=×4×（AB+AC+BC）
=×4×21=42，
故答案为：42．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
三、解答题：本大题共10小题，共40分。
21．某地区要在区域S内 （即∠COD内部） 建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可．
【解答】解：
如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．
【点评】本题主要考查了基本作图，有作线段的垂直平分线，角的平分线，是基本作图，需要熟练掌握．
22．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若△ABC、△ABD的周长分别为20cm、16cm，求AD的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质，以及△ABC的周长为20cm，可得AB+BD的长，根据△ABD的周长为16cm，减去前面AB+BD的长，即可得到AD的长．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BD=10cm，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AD=16﹣10=6cm．
故AD的长是6cm．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，以及三角形周长的定义，线段的和差关系．
23．如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
24．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：
∵AF=DC，
∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形全等的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
25．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN是过点A的任一直线，BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E．求证：BD﹣CE=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD﹣CE=AE﹣AD=DE．
【解答】证明：∵CE⊥AN，BD⊥AN，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD﹣CE=AE﹣AD=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
26．如图，A、B两村和一条小河，要在河边L建一水厂Q向两村供水，若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？请将上述情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
【考点】轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；平移、旋转与对称．
【分析】作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点Q，AQ+QB使自来水厂到两村的输水管用料最省，点Q为所求的点．
【解答】解：如图所示：做出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点Q，此时AQ+QB最短，
则Q为所求的点．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，作图﹣应用与设计作图，熟练掌握对称的性质是解本题的关键．
27．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E．求证：DE=DB+EC．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DF，CE=EF，即可得到结论．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF，
同理FE=EC，
∴DE=DF+EF=DB+EC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．
【解答】证明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．
∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．
∴FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．
29．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．
求证：BE=BD．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得AD为∠BAC的角平分线，根据等边三角形各内角为60°即可求得∠BAE=∠BAD=30°，进而证明△ABE≌△ABD，得BE=BD．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，
，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各边长、各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△ABD是解题的关键．
30．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．