河南省郑州市金水区实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份河南省郑州市金水区实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，BC＝AC，∠BAD＝108°，则∠D＝（ ）
A．144°B．110°C．100°D．108°
2、（4分）如图，为外一点，且于点，于点，若，则的度数为( )
A．B．
C．D．
3、（4分）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA = 2，∠AOC = 45°，则B点的坐标是
A．（2 +，）B．（2﹣，）C．（﹣2 +，）D．（﹣2﹣，）
4、（4分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长是（ ）
A．14cmB．8cmC．9cmD．10cm
6、（4分）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
A．中位数是40B．众数是4C．平均数是20.5D．极差是3
7、（4分）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米小时，下列所列方程正确的是
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，，点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，则的度数是( ).
A．15°B．20°C．25°D．30°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为_____．
10、（4分）如图所示，已知AB＝ 6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝ 1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是______．
12、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标为__________．
13、（4分）二次根式中字母 a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
15、（8分）材料一：如图1，由课本91页例2画函数y＝﹣6x与y＝﹣6x+5可知，直线y＝﹣6x+5可以由直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度得到由此我们得到正确的结论一：在直线L1：y=K1x+b1与直线L2：y=K2x+b2中，如果K1=K2 且b1≠b2 ，那么L1∥L2，反过来，也成立．
材料二：如图2，由课本92页例3画函数y＝2x﹣1与y＝﹣0.5x+1可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线L1：y=k1x+b1 与L2：y=k2x+b2 中，如果k1·k2=-1那么L1⊥L2，反过来，也成立
应用举例
已知直线y＝﹣x+5与直线y＝kx+2互相垂直，则﹣k＝﹣1．所以k＝6
解决问题
(1)请写出一条直线解析式______，使它与直线y＝x﹣3平行．
(2)如图3，点A坐标为(﹣1，0)，点P是直线y＝﹣3x+2上一动点，当点P运动到何位置时，线段PA的长度最小？并求出此时点P的坐标．
16、（8分）己知：如图1，⊙O的半径为2， BC是⊙O的弦，点A是⊙O上的一动点．
图1 图2
（1）当△ABC的面积最大时，请用尺规作图确定点A位置（尺规作图只保留作图痕迹, 不需要写作法）；
（2）如图2，在满足（1）条件下，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD并延长交AC 的延长线于点E,若∠BAC=45° ,求AC2+CE2的值.
17、（10分）计算：（-）0+（-4）-2-|-|
18、（10分）已知：线段 m、n 和∠
（1）求作：△ABC，使得 AB＝m，BC＝n，∠B＝∠；
（2）作∠BAC 的平分线相交 BC 于 D．（以上作图均不写作法，但保留作图痕迹）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点则PM＋PN的最小值是_
20、（4分）如图甲，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在格点处）请将图乙中的▱ABCD分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
21、（4分）甲、乙两位选手各射击10次，成绩的平均数都是9.2环，方差分别是，，则____选手发挥更稳定．
22、（4分）已知点，，，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为__________．
23、（4分）若方程+2＝的解是正数，则m的取值范围是___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台价格，月处理污水量极消耗费如下表：
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.
⑴ 请你为企业设计几种购买方案．
⑵ 若企业每月产生污水2040吨，为了节约资金，应选那种方案？
25、（10分）计算：（1） （2）
26、（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线经过点A（-6,0），它与y轴交于点B,点B在y轴正半轴上，且OA=2OB
（1）求直线的函数解析式
（2）若直线也经过点A（-6,0），且与y轴交于点C，如果ΔABC的面积为6，求C点的坐标
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣108°＝72°，
∵BC＝AC，
∴∠BAC=∠B=72°，
∴∠ACB＝180°﹣2×72°＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝36°，
∵AD＝CD，
∴∠DCA=∠DAC=36°，
∴∠D＝180°﹣36°×2＝108°，
故选D．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2、C
【解析】
首先由四边形内角和定理求出∠C=130°，然后根据平行四边形对角相等可得答案.
【详解】
解：∵EB⊥BC，ED⊥CD，，
∴∠EBC＝90°，∠EDC＝90°，
∴在四边形EBCD中，∠C=360°-∠EBC-∠EDC-∠E=360°-90°-90°-50°=130°，
∴在中=∠C=130°，
故选：C.
本题考查了四边形的内角和定理，平行四边形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
3、D
【解析】
试题分析：根据题意得C(－2，0)，过点B作BD⊥OC，则BD=CD=，则点B的坐标为(－2－，).
考点：菱形的性质.
4、A
【解析】
考查一次函数的图像特征．
点拨：由得系数符号和常数b决定．
解答：对于一次函数，当时直线经过第一、二、四象限或第二、三、四象限;,故直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
5、C
【解析】
利用勾股定理列式求出AC，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA＝OD＝AC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝OD，再求出AF，AE，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】
由勾股定理得，AC＝＝10cm
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝AC＝×10＝5cm
∵点E、F分别是AO、AD的中点
∴EF＝OD＝cm
AF＝×8＝4cm
AE＝OA＝cm
∴△AEF的周长＝+4+＝9cm．
故选C．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，矩形的性质，勾股定理，熟记定理与性质是解题的关键．
6、A
【解析】
试题分析：根据中位数、众数、加权平均数和极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．A、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2=40，则中位数是40，故本选项正确；B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；C、这组数据的平均数（25+30×2+40×4+50×2+60）÷10=40.5，故本选项错误；D、这组数据的极差是：60﹣25=35，故本选项错误；故选A．
考点：1.极差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
7、B
【解析】
根据题意可得等量关系为原来走350千米所用的时间提速后走350千米所用的时间，根据等量关系列式即可判断．
【详解】
解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，
所以可列方程为：.
故选：B．
本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．
8、B
【解析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可.
【详解】
解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DB=DA，EC=EA，
∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∵DB=DA，EC=EA，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=80°，
∴∠DAE=100°-80°=20°，故选B.
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6
【解析】
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴
故答案为：
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
10、1
【解析】
分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN==1，
∴点G移动路径的长是1，
故答案为：1．
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
11、 (4，5)
【解析】
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P，
∴位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
12、
【解析】
把x=0代入函数解析式即可得解.
【详解】
解：把x=0代入一次函数y=kx+1得y=1，
所以图象与y轴的交点坐标是(0，1).
故答案为：(0，1).
本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点.
13、.
【解析】
运用二次根式中的被开方数的非负性进行求解即可，即有意义，则a≥0.
【详解】
解：由题意得2a+5≥0，解得：.
故答案为.
本题考查了二次根式的意义和性质，对于二次根式而言，关键是要注意两个非负性：一是a≥0，二是≥0；在各地试卷中是高频考点.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y=5x+1．（2）乙.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
试题解析：（1）设y=kx+b，则有 ，解得 ，
∴y=5x+1．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为61元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，
∵6300＜61
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
15、（1）y＝x；（2）当线段PA的长度最小时，点P的坐标为.
【解析】
（1）由两直线平行可得出k1＝k2＝1、b1≠b2＝﹣3，取b1＝0即可得出结论；
（2）过点A作AP⊥直线y＝﹣3x+2于点P，此时线段PA的长度最小，由两直线平行可设直线PA的解析式为y＝x+b，由点A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段PA的长度最小时，点P的坐标．
【详解】
.解：（1）∵两直线平行，
∴k1＝k2＝1，b1≠b2＝﹣3，
∴该直线可以为y＝x．
故答案为y＝x．
（2）过点A作AP⊥直线y＝﹣3x+2于点P，此时线段PA的长度最小，如图所示．
∵直线PA与直线y＝﹣3x+2垂直，
∴设直线PA的解析式为y＝x+b．
∵点A（﹣1，0）在直线PA上，
∴×（﹣1）+b＝0，解得：b＝，
∴直线PA的解析式为y＝x+．
联立两直线解析式成方程组，得：
，解得： ．
∴当线段PA的长度最小时，点P的坐标为（，）．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点P的位置．
16、（1）见解析；（1）2.
【解析】
（1）作BC的垂直平分线交优弧BC于A，则点A满足条件；
（1）利用圆周角定理得到∠ACD=90°，根据圆内接四边形的性质得∠CDE=∠BAC=45°，通过判断△DCE为等腰直角三角形得到CE=CD，然后根据勾股定理得到AC1+CE1=AC1+CD1=AD1．
【详解】
解：（1）如图1，点A为所作；
（1）如图1，连接CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠CDE=∠BAC=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∴AC1+CE1=AC1+CD1=AD1=41=2．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
17、1
【解析】
先计算0指数幂、负指数幂和绝对值，再根据有理数加减混合运算法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=
=1+-
=1．
此题考查了实数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）先作出∠MBN=∠，然后在边BM上截取BA=m得到点A，在以A为圆心AC=n为半径画弧角AN于C，得到点C，连接AC,即可得到符合要求的图形．
（2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与角两边的交点为圆心，大于两弧交点的一半长为半径画弧，两弧的交点为E，连接AE，交BC于D，. AD就是所求∠BAC的角平分线．
【详解】
解：（1）如图所示的△ABC就是所要求作的图形．
（2）如图所示；
本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，作已知角的角平分线，都是基本作图，需要熟练掌握．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
试题分析：要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，而由已知可得AB=1∴AE=BN，∵四边形ABCD是菱形，∴AE∥BN，∴四边形AENB为平行四边形，∴EN=AB=1，∴PM+PN的最小值为1．
考点：轴对称—最短路径问题
点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键
20、详见解析
【解析】
直接利用网格结合全等三角形的判定方法得出答案．
【详解】
解：如图所示：③与④全等；②与⑥全等；⑤与①全等．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确应用网格是解题关键．
21、甲
【解析】
根据方差越大波动越大越不稳定，作出判断即可．
【详解】
解：∵S甲2=0.015，S乙2=0.025，
∴S乙2＞S甲2，
∴成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22、，，
【解析】
根据题意画出图形，由平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
【详解】
解：①当如图1时，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴M（3，2）；
②当如图2所示时，同①可知，M（-3，2）；
③当如图3所示时，过点M作MD⊥x轴，
∵四边形ACBM是平行四边形，
∴BD=OA=1，MD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴M（5，-2）；
综上所述，点M坐标为（3，2）、（-3，2）、（5，-2）.
本题考查了平行四边形的性质和判定，利用分类讨论思想是本题的关键．
23、m＜3且m≠2.
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m的范围即可．
【详解】
去分母得：m+2（x﹣1）＝x+1，
解得：x＝3﹣m，
由分式方程的解为正数，得到3﹣m＞0，且3﹣m≠1，
解得：m＜3且m≠2，
故答案为：m＜3且m≠2.
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）有三种购买方案：方案一：不买A型，买B型10台，方案二，买A型1台，B型9台，方案三，买A型2台，B型8台；（2）为了节约资金应购买A型1台，B型9台，即方案二．
【解析】
（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10-x）台，列出不等式求解即可，x的值取正整数；
（2）根据企业每月产生的污水量为2040吨，列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．
【详解】
解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10-x）台，根据题意得
，
解得0≤x≤，
∵x为整数，
∴x可取0，1，2，
当x=0时，10-x=10，
当x=1，时10-x=9，
当x=2，时10-x=8，
即有三种购买方案：
方案一：不买A型，买B型10台，
方案二，买A型1台，B型9台，
方案三，买A型2台，B型8台；
（2）由240x+200（10-x）≥2040
解得x≥1
由（1）得1≤x≤
故x=1或x=2
当x=1时，购买资金12×1+10×9=102（万元）
当x=2时，购买资金12×2+10×8=104（万元）
∵104＞102
∴为了节约资金应购买A型1台，B型9台，即方案二．
本题考查不等式组在现实生活中的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式是解题关键．
25、（1）；（2）.
【解析】
（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即得结果；（2）先按照完全平方公式展开，再合并、化简即可.
【详解】
解：（1）==；
（2）=.
本题考查了二次根式的混合运算，对于二次根式的混合运算，一般先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，最后合并同类二次根式.
26、（1）（2）C(0，5)或（0，1）
【解析】
(1)由OA=2OB可求得OB长，继而可得点B坐标，然后利用待定系数法进行求解即可；
(2)根据三角形面积公式可以求得BC的长，继而可得点C坐标.
【详解】
(1)A(-6，0)，
OA=6 ，
OA=2OB，
OB=3 ，
B在y轴正半轴，
B(0，3)，
设直线解析式为：y=kx+3(k ≠0)，
将A(-6，0)代入得：6k+3=0，
解得：，
；
(2) ，
AO=6，
BC=2 ，
又∵B(0，3)，3+2=5，3-2=1，
C(0，5)或(0，1).
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
月用电量（度）
25
30
40
50
60
户数
1
2
4
2
1