河南省郑州外国语中学2025届九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】
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这是一份河南省郑州外国语中学2025届九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折一下,就一定可以裁出( )纸片ABEF.
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
2、(4分)若不等式组的解集为﹣1<x<1,则(a﹣3)(b+3)的值为( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
3、(4分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点.若AC=10,BD=6,则四边形EFGH的面积为( )
A.15B.20C.30D.60
4、(4分)下列各点中,在正比例函数的图象上的点是( )
A.B.C.D.
5、(4分)一组数据:3、4、4、5,若添加一个数4,则发生变化的统计量是( )
A.平均数B.众数C.中位数D.标准差
6、(4分)关于一次函数,下列结论正确的是( )
A.随的增大而减小B.图象经过点(2,1)C.当﹥时,﹥0D.图象不经过第四象限
7、(4分)下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
8、(4分)有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛,比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差,如果去掉一个最高分和一个最低分,则一定不发生变化的是( )
A.中位数B.平均数C.众数D.方差
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)已知直线与直线平行且经过点,则__.
10、(4分)双曲线,在第一象限的图象如图,过上的任意一点,作轴的平行线交于点,交轴于点,若,则的值为__________.
11、(4分)关于x的不等式组的解集为﹣3<x<3,则a=_____,b=_____.
12、(4分)如图,AB∥CD,则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________.
13、(4分)如图,在矩形中,,,是边的中点,点是边上的一动点,将沿折叠,使得点落在处,连接,,当点落在矩形的对称轴上,则的值为______.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图1,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴交于A,B两点,以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,点C为直角顶点,连接OC.
(1)直接写出= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点,试探究OB+OA与CE的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点M为AB的中点,点N为OC的中点,求MN的值;
(4)如图2,将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD,且OD⊥AD,延长DO交直线于点P,求点P的坐标.
15、(8分)如图,直线与轴交于点,点是该直线上一点,满足.
(1)求点的坐标;
(2)若点是直线上另外一点,满足,且四边形是平行四边形,试画出符合要求的大致图形,并求出点的坐标.
16、(8分)某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动,为了解职工的捐数量,采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本,对他们的捐书量进行统计,统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类,分别用A、B、C、D、E表示,根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数;
(3)估计该单位750名职工共捐书多少本?
17、(10分)如图,在边长为1的小正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,
(1)将△AOB向右平移4个单位长度得到△A1O1B1,请画出△A1O1B1;
(2)以点A为对称中心,请画出△ AOB关于点A成中心对称的△ A O2 B2,并写点B2的坐标;
(1)以原点O为旋转中心,请画出把△AOB按顺时针旋转90°的图形△A2 O B1.
18、(10分)如图,在中,点、分别是、的中点,平分,交于点,交于点.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求四边形的周长.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)若关于x的不等式组的解集为﹣<x<﹣6,则m的值是_____.
20、(4分)若关于若关于x的分式方程的解为正数,那么字母a的取值范围是___.
21、(4分)已知关于x的方程ax-5=7的解为x=1,则一次函数y=ax-12与x轴交点的坐标为________.
22、(4分)如图,平行四边形中,为的中点,连接,若平行四边形的面积为,则的面积为____.
23、(4分)如图,在四边形ABCD中,∠DBC=90°,∠ABD=30°,∠ADB=75°,AC与BD交于点E,若CE=2AE=4,则DC的长为________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)某校九年级两个班各捐款1800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元,(2)班的人数比(1)班的人数少10%.求两个班人均捐款各为多少元?
25、(10分)已知点P(2,2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上.
(1)当x=-3时,求y的值;
(2)当1<x<3时,求y的取值范围.
26、(12分)感知:如图①,在正方形中,是一点,是延长线上一点,且,求证:;
拓展:在图①中,若在,且,则成立吗?为什么?
运用:如图②在四边形中,,,,是上一点,且,,求的长.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、D
【解析】
根据折叠定理得:所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等,所以可以裁出正方形纸片.
【详解】
解:由已知,根据折叠原理,对折后可得:,,
四边形是正方形,
故选:D.
此题考查了正方形的判定和折叠的性质,关键是由折叠原理得到四边形有三个直角,且一组邻边相等.
2、D
【解析】
试题分析:解不等式2x﹣a<1,得:x<,
解不等式x﹣2b>3,得:x>2b+3,
∵不等式组的解集为﹣1<x<1,
∴,
解得:a=1,b=﹣2,
当a=1,b=﹣2时,(a﹣3)(b+3)=﹣2×1=﹣2,
故选D.
考点:解一元一次不等式组
3、A
【解析】
根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH为矩形,根据矩形的面积公式计算即可.
【详解】
解:∵点E,F分别为边AB,BC的中点.
∴EF=AC=5,EF∥AC,
同理,HG=AC=5,HG∥AC,EH=BD=3,EH∥BD,
∴EF=HG,EF∥HG,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵EF∥AC,AC⊥BD,
∴EF⊥BD,
∵EH∥BD,
∴∠HEF=90°,
∴平行四边形EFGH为矩形,
∴四边形EFGH的面积=3×5=1.
故选:A.
本题考查中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键.
4、C
【解析】
根据正比例函数的性质,直接将坐标代入,即可判定是否符合题意.
【详解】
A选项坐标代入,得,错误;
B选项坐标代入,得,错误;
C选项坐标代入,得,正确;
D选项坐标代入,得,错误;
故答案为C.
此题主要考查正比例函数的性质,熟练掌握,即可解题.
5、D
【解析】
依据平均数、中位数、众数、标准差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准求解即可.
【详解】
原数据的3,4, 4,5的平均数为,
原数据的中位数为,
原数据的众数为4,
标准差为;
新数据3,4,4,4,5的平均数为,
新数据3,4,4,4,5的中位数为4,
新数据3,4,4,4,5的众数为4,
新数据3,4,4,4,5的标准差为,
∴添加一个数据4,标准差发生变化,
故选D.
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数,熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.
6、C
【解析】
分析:根据k=3>0,图象经过第一、三、四象限,y随x增大而增大即可判断A,D选项的正误;把点(2,1)代入y=3x-1即可判断函数图象不过点(2,1)可判断B选项;当3x-1>0,即x>时,y>0,可判断C选项正误.
详解:当k=3>0,图象经过第一、三、四象限,y随x增大而增大即可判断A,D选项错误;
当x=2时,y=2×2-1=3≠1,故选项B错误;
当3x-1>0,即x>时,y>0,,所以C选项正确;
故选C.
点睛:本题考查了一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0,图象经过第一、三象限,y随x增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y随x增大而减小;当b>0,图象与y轴的交点在x的上方;当b=0,图象经过原点;当b<0,图象与y轴的交点在x的下方.
7、B
【解析】
根据中心对称图形特点分别分析判断,中心对称图形绕一个点旋转180°后图形仍和原来图形重合.
【详解】
解:A、属于中心对称图形,不符合题意;
B、不是中心对称图形,符合题意;
C、是中心对称图形,不符合题意;
D、是中心对称图形,不符合题意.
故答案为:B
本题考查的中心对称图形,由其特点进行判断是解题的关键.
8、A
【解析】
根据中位数的定义:位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数.
【详解】
去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响,故选A.
考查了统计量的选择,解题的关键是了解中位数的定义.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、2
【解析】
由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行得到k=2,然后把点A(1,2)代入一次函数解析式可求出b的值.
【详解】
直线与直线平行,
,
,
把点代入得,解得;
,
故答案为:2
本题主要考查了两条直线相交或平行问题,待定系数法,解答此类题关键是掌握若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行,则k1=k2;若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交,则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标.
10、1
【解析】
根据S△AOC-S△BOC=S△AOB,列出方程,求出k的值.
【详解】
由题意得:S△AOC-S△BOC=S△AOB,
=1,
解得,k=1,
故答案为:1.
此题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.根据面积关系得出方程是解题的关键.
11、-3 3
【解析】
,,
所以,
解得.
12、180°
【解析】
解:∵AB∥CD
∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3
∠EFD=180°-∠EFC
∴∠1+∠3—∠2=180°
故答案为:180°
13、2
【解析】
根据旋转的性质在三角形EHG中,利用30°角的特殊性得到∠EGH=30°,再利用对称性进行解题即可.
【详解】
解:如下图过点E作EH垂直对称轴与H,连接BG,
∵,,
∴BE=EG=1,EH=,
∴∠EGH=30°,
∴∠BEG=30°,
由旋转可知∠BEF=15°,BG⊥EF,
∴∠EBG=75°,∠GBF=∠BCG=15°,即
∴m=2
故答案是:2
本题考查了图形旋转的性质,中垂线的性质,直角三角形中30°的特殊性,熟悉30°角的特殊性是解题关键.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1) 4;(2)OB+OA=2CE;见解析;(3)MN=;(4)P(,).
【解析】
(1)令x=0,求出y的值,令y=0,求出x的值,即可得出OA,OB的长,根据三角形面积公式即可求出结果;
(2)过点C作CF⊥x轴,垂足为点F,易证△CEB≌△CFA与四边形CEOF是正方形,从而得AF=BE,CE=BE=OF,由OB=OE-BE,AO=OF+AF可得结论;
(3)求出C点坐标,利用中点坐标公式求出点M,N的坐标,进而用两点间的距离公式求解即可得出结论;
(4)先判断出点B是AQ的中点,进而求出Q的坐标,即可求出DP的解析式,联立成方程组求解即可得出结论.
【详解】
(1)∵直线y=-x+2交坐标轴于A,B两点,
令x=0,则y=2,令y=0,则x=4,
∴BO=2,AO=4,
∴=;
(2)作CF⊥x轴于F,作CE⊥y轴于E,如图,
∴∠BFC=∠AEC=90°
∵∠EOF=90°,
∴四边形OECF是矩形,
∴CF=OE,CE=OF,∠ECF=90°,
∵∠ACB=90°
∴∠BCF=∠ACE,
∵BC=AC,
∴△CFB≌△CEA,
∴CF=CE,AF=BE,
∴四边形OECF是正方形,
∴OE=OF=CE=CF,
∴OB=OE-BE,OA=OF+AF,
∴OB+OA=OE+OF=2CE;
(3)由(2)得CE=3,
∴OE=3,
∴OF=3,
∴C(3,3);
∵M是线段AB的中点,而A(4,0),B(0,2),
∴M(2,1),
同理:N(,),
∴MN=;
(3)如图②延长AB,DP相交于Q,
由旋转知,BD=AB,
∴∠BAD=∠BDA,
∵AD⊥DP,
∴∠ADP=90°,
∴∠BDA+∠BDQ=90°,∠BAD+∠AQD=90°,
∴∠AQD=∠BDQ,∴BD=BQ,
∴BQ=AB,
∴点B是AQ的中点,
∵A(4,0),B(0,2),
∴Q(-4,4),
∴直线DP的解析式为y=-x①,
∵直线DO交直线y=x+5②于P点,
联立①②解得,x=-,y=,
∴P(-,).
此题是一次函数综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质,中点坐标公式,两点间的距离公式,求出点C的坐标是解本题的关键.
15、(1)点坐标为;(2)点.
【解析】
(1)先由直线y=-2x+10与x轴交于点A,求出点A坐标为(5,0),所以OA=5;再设点B坐标为(m,n),根据B是直线y=-2x+10上一点,及OB=OA,列出关于m,n的方程组,解方程组即可;
(2)由于四边形OBCD是平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等得出BC∥OD,BC=OD,再由AB=BC,得出AB=OD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明出四边形OABD是平行四边形,则BD∥OA且BD=OA=5,由平移的性质即可求出点D的坐标.
【详解】
(1)由已知,点坐标为,所以.
设点坐标为,
因为是直线上一点
∴
又, ∴
解得 或 (与点重合,舍去)
∴点坐标为.
(2)符合要求的大致图形如图所示。
∵平行四边形
∴且,
∵
∴,
∴四边形是平行四边形
∴且,
∴点.
本题考查了一次函数的综合题,涉及到一次函数图象上点的坐标的求法,二元二次方程组的解法,平行四边形的性质与判定,利用了方程思想及数形结合的思想,(2)中根据平行四边形的性质与判定证明出四边形OABD是平行四边形是解题的关键.
16、(1)补图见解析(2)6;6;6;(3)4500本.
【解析】
(1)根据题意列式计算得到D类书的人数,补全条形统计图即可;
(2)根据次数出现最多的数确定众数,按从小到大顺序排列好后求得中位数;
(3)用捐款平均数乘以总人数即可.
【详解】
(1)捐D类书的人数为:30-4-6-9-3=8,
补图如图所示;
(2)众数为:6 中位数为:6
平均数为:=(4×4+5×6+6×9+7×8+8×3)=6;
(3)750×6=4500,
即该单位750名职工共捐书约4500本.
主要考查了中位数,众数,平均数的求法,条形统计图的画法,用样本估计总体的思想和计算方法;要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.
17、(1)如图所示:△A1O1B1为所求作的三角形;见解析;(2)如图所示:为所求作的三角形,见解析;(-1,4);(1)如图所示:为所求作的三角形;见解析.
【解析】
(1)先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形;
(2)关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分得特点,找到关键点的对应点,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形;关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,即可得到B点的坐标;
(1)先将A,B,O以原点O为旋转中心, 顺时针旋转90°,得到对应点A2O, B1,最后顺次连接,顺次连接得出旋转后的图形.
【详解】
解:(1)如图所示:先将A,B,O三点向右平移4个单位长度,得到A1 ,O1, B1,最后顺次连接,即可得到:为所求作的三角形;
(2)如图所示:先将A,B,O以点A为对称中心,得到A,O2, B2最后顺次连接,即可得到:为所求作的三角形,(-1,4);
(1)如图所示:先将A,B,O以原点O为旋转中心, 顺时针旋转90°,得到A2,O, B1,最后顺次连接,即可得到:为所求作的三角形;
本题主要考查了利用旋转变换,平移变换以及中心对称进行作图,解题时注意:关于x轴的对称点的横坐标不变,纵坐标互为相反数.关于y轴的对称点的横坐标互为相反数,纵坐标不变.
18、(1)见解析;(2)8.
【解析】
(1)由三角形中位线定理可得BC=2DE,DE∥BC,且FG∥AB,可证四边形BDFG是平行四边形,由角平分线的性质和平行线的性质可得DF=DB,即可得四边形BDFG是菱形;
(2)由菱形的性质可得DF=BG=GF=BD,由BC=2DE,可求BG的长,即可求四边形BDFG的周长.
【详解】
证明:(1)∵点D、E分别是AB、AC的中点,
∴BC=2DE,DE∥BC,且FG∥AB,
∴四边形BDFG是平行四边形,
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠GBF,
∵DE∥BC,
∴∠GBF=∠DFB,
∴∠DFB=∠DBF,
∴DF=DB,
∴四边形BDFG是菱形;
(2)∵四边形BDFG是菱形;
∴DF=BG=GF=BD
∵BC=2DE
∴BG+4=2(BG+1)
∴BG=2,
∴四边形BDFG的周长=4×2=8
本题考查了菱形的性质和判定,三角形中位线定理,熟练运用菱形的性质是本题的关键.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、1
【解析】
先解不等式组得出其解集为,结合可得关于的方程,解之可得答案.
【详解】
解不等式,得:,
解不等式,得:,
∵不等式组的解集为,
∴,
解得,
故答案为:1.
本题考查了解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
20、a>1且a≠2
【解析】
分式方程去分母得:2x﹣a=x﹣1,解得:x=a﹣1,
根据题意得:a﹣1>0,解得:a>1.
又当x=1时,分式方程无意义,∴把x=1代入x=a﹣1得a=2.
∴要使分式方程有意义,a≠2.
∴a的取值范围是a>1且a≠2.
21、 (1,0)
【解析】
试题解析:∵x=1是关于x的方程ax-5=7的解,
∴a-5=7,
解得a=12,
∴一次函数y=ax-12可整理为y=12x-12.
令y=0,得到:12x-12=0,
解得x=1,
则一次函数图象与x轴的交点坐标是(1,0).
故答案为(1,0).
22、6
【解析】
如图,连接AC.首先证明△ABC≌△CDA,可得S△ABC=S△ADC=×24=12(cm2),由AE=DE,可得S△CDE=S△ADC=6;
【详解】
解:如图,连接.
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
故答案为6
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
23、
【解析】
过A点作A⊥BD于F,根据平行线的判定可得AF∥BC,根据含30度直角三角形的性质可得BC=AB,根据三角形内角和可得∠ADB=∠BAD,根据等腰三角形的性质可得BD=AB,从而得到BC=BD,在Rt△CBE中,根据含30度直角三角形的性质可得BC,在Rt△CBD中,根据等腰直角三角形的性质可得CD.
【详解】
过A点作A⊥BD于F,
∵∠DBC=90°,
∴AF∥BC,
∵CE=2AE,
∴AF=BC,
∵∠ABD=30°,
∴AF=AB,
∴BC=AB,
∵∠ABD=30°,∠ADB=75°,
∴∠BAD=75°,∠ACB=30°,
∴∠ADB=∠BAD,
∴BD=AB,
∴BC=BD,
∵CE=4,
在Rt△CBE中,BC=CE=6,
在Rt△CBD中,CD=BC=6.
故答案为:6.
此题考查了含30度直角三角形的性质,以及等腰三角形的判定和性质,得到Rt△CBE是含30度直角三角形,以及Rt△CBD是等腰直角三角形是解本题的关键.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、1班人均捐款36元,2班人均捐款40元.
【解析】
解:设1班有x人,则2班有0.9x人,
由题意,得-=4,解之得x=50(人).
经检验x=50是原分式方程的根.
∴2班有45人,∴1班人均捐款为=36(元),2班人均捐款为=40(元).
答:1、2两个班人均捐款各36元和40元.
25、(1)4;(2).
【解析】
由p点可以求得函数解析式,即可得k;由函数解析式中x的取值可以得y的取值.
【详解】
解:∵点在反比例函数的图象上,
∴.
∵,
∴反比例函数在第一象限内单调递减.
∵当时,;当时,.
∴.
故当时,的取值范围为:.
本题考查了反比例函数的性质,熟悉掌握概念是解决本题的关键.
26、(1)见解析;(2)GE=BE+GD成立,理由见解析;(3)
【解析】
(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即可得到CE=CF;
(2)借助(1)的结论得出∠BCE=∠DCF,再通过角的计算得出∠GCF=∠GCE,由SAS可得△ECG≌△FCG,则EG=GF,从而得出GE=DF+GD=BE+GD;
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),再设DE=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理构造方程即可求出DE.
【详解】
(1)证明:如图①,在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠ADC=90°,
∴∠CDF=90°,即∠B=∠CDF =90°,
在△BCE和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴CE=CF;
(2)解:如图①,GE=BE+GD成立,理由如下:
由(1)得△BCE≌△DCF,
∴∠BCE=∠DCF,
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∵∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠ECF−∠ECG=45°,则∠GCF=∠GCE,
在△GEC和△GFC中,
,
∴△GEC≌△GFC(SAS),
∴EG=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD;
(3)解:如图②,过C作CG⊥AD于G,
∴∠CGA=90°,
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠B=90°,
∴四边形ABCG为矩形,
又∵AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形,
∴AG=BC=AB=16,
∵∠DCE=45°,由(1)和(2)的结论可得:ED=BE+DG,
设DE=x,
∵,
∴AE=12,DG=x−4,
∴AD=AG−DG=20−x
在Rt△AED中,
由勾股定理得:DE2=AD2+AE2,
即x2=(20−x)2+122
解得:,
即.
本题是一道几何综合题,内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
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