湖北省黄冈市西湖中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份湖北省黄冈市西湖中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
2、（4分）若关于的不等式组至少有四个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．2个
3、（4分）分解因式x2-4的结果是
A．B．
C．D．
4、（4分）已知一次函数,则该函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分） “学习强国”的英语“Learningpwer”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A．1B．C．D．2
6、（4分）下列关于 x 的分式方程中，有解的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90˚，D，E，F分别是AB，AC，AD的中点，若AB=8，则EF的长是( )
A．1B．2C．3D．
8、（4分）下列算式中，正确的是
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________.
10、（4分）已知y=1++，则2x+3y的平方根为______．
11、（4分）如图，在□中，⊥于点，⊥于点.若，，且□的周长为40，则□的面积为_______．
12、（4分）长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
13、（4分）直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= S△AOB时，求直线OC的解析式。
15、（8分）某公司把一批货物运往外地，有两种运输方案可供选择．
方案一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每千米再回收4元；
方案二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每千米再回收2元．
（1）分别求邮车、火车运输总费用y1（元）、y2（元）关于运输路程x（km）之间的函数关系式：
（2）如何选择运输方案，运输总费用比较节省？
16、（8分）先化简，再求值：当a=7时，求a+的值．
17、（10分）如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为、、，过A作y轴的垂线.点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为.当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△，与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.
(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.
(2)当PE+PD取得最小值时，求的值.
(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为，请用含的代数式表示△PAE的面积.
18、（10分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人:他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘新工人若干名(新工人人数少于10人)和抽调的熟练工合作,刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一次函数y=x+2与一次函数y=mx+n的图象交于点P（a，-2），则关于x的方程x+2=mx+n的解是__________．
20、（4分）如图，在中，已知，，平分，交边于点E，则 ___________ ．
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm．
​
22、（4分）直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)与y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1－b2等于________．
23、（4分）分解因式：__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义：若y′= ,则称点Q为点P的“可控变点”。例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2).
结合定义，请回答下列问题：
(1)点(−3,4)的“可控变点”为点 ___.
(2)若点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为___；
(3)点P为直线y=2x−2上的动点,当x⩾0时,它的“可控变点”Q所形成的图象如图所示(实线部分含实心点).请补全当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象.
25、（10分）如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线与直线l1，l2，分别交于点C，D，垂足为点E,设点E的坐标为(a，0)若线段CD长为2，求a的值．
26、（12分）如图，直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点.
（1）点坐标为（ ， ），B为（ ， ）.
（2）在线段上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，若四边形是平行四边形时，求出此时的值.
（3）若点为轴正半轴上一点，且，则在轴上是否存在一点，使得四个点能构成一个梯形若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】
根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
2、C
【解析】
由不等式组至少有4个整数解，可得的取值范围，由方程的解是整数，可得的值，综合可得答案．
【详解】
解：因为
由①得：，所以，
由②得：＜，即＜，
解得：＞，又因为不等式组至少有4个整数解，
所以，所以，
又因为：，去分母得：，解得：，
而方程的解为整数，所以，
所以的值可以为：，
综上的值可以为：，
故选C．
本题考查不等式组的整数解的问题，方程的整数解问题，都是初中数学学习的难点，关键是理解题意，其中不等式组的整数解利用数轴得到范围是解题关键．
3、C
【解析】
本题考查用公式法进行因式分解.根据该题特点:两项分别是x和2的平方,并且其符合相反,可以用平方差公式进行分解.
【详解】
x2-4=(x-2)(x+2).故选C.
本题考查用公式法进行因式分解,解题的关键是能熟记用公式法进行因式分解的式子的特点.
4、A
【解析】
根据函数系数结合一次函数图象与系数的关系，即可得出该函数图象过第一、二、四象限，此题得解．
【详解】
∵在一次函数y=-x+1中，k=-1＜0，b=1＞0，
∴一次函数y=-x+1的图象过第一、二、四象限．
故选：A．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握当k＜0、b＞0时函数图象过第一、二、四象限是解题的关键．
5、C
【解析】
直接利用频率的定义分析得出答案．
【详解】
∵“学习强国”的英语“Learningpwer”中，一共有13个字母，n有2个，
∴字母“n”出现的频率是：
故选：C．
此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
6、B
【解析】
根据分子为0，分母不为0，存在同时满足两个条件时的x，则分式方程有解..
【详解】
A.当，则且，当时，，当时，，所以该方程无解；
B.当，则且，当时，当时，所以该方程的解为；
C.因为无解，所以该方程无解；
D.当，则且，当时，当时，所以该方程无解.
故选B.
本题考查解分式方程，分式的值要为0，则分子要为0同时分母不能为0.
7、B
【解析】
利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=1．
故选：B.
本题考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线的性质解决问题，属于中考常考题型．
8、C
【解析】
根据二次根式的混合运算法则逐一计算即可判断．
【详解】
解：A.，此选项错误；
B. ，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.，此选项错误；
故选：C．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、−.
【解析】
把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可．
【详解】
∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a,b)，
∴b= ，b=a−1，
∴=a−1，
a−a−2=0，
(a−2)(a+1)=0，
解得a=2或a=−1，
∴b=1或b=−2，
∴的值为−.
故答案为：−.
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程
10、±2
【解析】
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，根据平方根的定义即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，，
，
，
，
的平方根为．
故答案为．
本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键
11、48
【解析】
∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，
∴S▱ABCD=4BC=6CD，
整理得,BC=CD②，
联立①②解得，CD=8，
∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.
故答案为48.
12、1．
【解析】
由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab（a+b），代入可求得答案
【详解】
∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，
∴a+b==7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=1，
故答案为：1．
本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab（a+b）是解题的关键．
13、1．
【解析】
试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10.
∴斜边上的中线长=×10=1．
考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)；（2）y=-x
【解析】
（1）分别令y=0, x=0, 代入一次函数式，即可求出A、B点的坐标；
（2）先由OA和OB的长求出△AOB的面积，设C点坐标为（m,n），△AOC和△AOB等底不同高， 由 S△AOC= S△AOB 列式，求出C点的纵坐标n，把n代入一次函数式求出m, 从而得出C点坐标， 设直线OC的解析式为y=kx ，根据C点坐标用待定系数法求出k, 即可确定直线OC的函数解析式.
【详解】
（1）解：∵直线y= x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4
∵直线y= x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)
（2）解：由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB= =4
S△AOC= S△AOB ，
∴S△AOC=2
设点C的坐标为(m，n)
∴ =2，得n=1，
∵点C在线段AB上，
∴1= m+2，得m=-2
∴点C的坐标为(-2，1)
设直线OC的解析式为y=kx
-2k=1，得k=- ，
即直线OC的函数解析式为y=-x
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角形的面积公式.
15、（1）y1=4x+400，y2=2x+820；（2）当运输路程x不超过210千米时，使用方式一最节省费用；当运输路程x超过210千米时，使用方式二最节省费用；当运输路程x等于210千米时，使用两种方式的费用相同．
【解析】
（1）根据运输总费用=装卸费用+加收的费用列式整理即可；
（2）分y1=y2、y1＞y2、y1＜y2三种情况讨论求解．
【详解】
（1）y1=4x+400，
y2=2x+820；
（2）①当y1＞y2时，4x+400＞2x+820，
x＞210，
②当y1＜y2时，4x+400＜2x+820，
x＜210，
③当y1=y2时，4x+400=2x+820，
x=210，
答：当运输路程x不超过210千米时，使用方式一最节省费用；
当运输路程x超过210千米时，使用方式二最节省费用；
当运输路程x等于210千米时，使用两种方式的费用相同．
考查了一次函数的应用，理解两种运输方式的收费组成是解题的关键，（2）要注意分情况讨论．
16、，13
【解析】
先根据二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=
当a=7时，
原式=
本题考查的是二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解答此题的关键．
17、（1）；（2）； (3)①当时，S△PAE=,②当时, S△PAE=.
【解析】
（1）设直线AB为，把B(-3,0)代入，求得k，确定解析式；再设设秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t即可；
（2）过E作关于轴对于点,连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.由（1）得到当t=2时，有C（，0），D(,3)，再根据AB∥CD，求出直线CD和AB1的解析式，确定E的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.
（3）根据（1）可以判断有和两种情况，然后分类讨论即可.
【详解】
（1）解：设直线AB为，把B(-3,0)代入得：
∴
∴
由题意得：
设秒后构成平行四边形，则
解之得：，
（2）如图:过E作关于轴对于点,
连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.
由（1）t=2得：
∴C（，0），D(,3)
∵AB∥CD
∴设CD为
把C（，0）代入得
b1=
∴CD为：
易得为：
∴
解之得：E(,)
∴
(3)①当时
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
②当时：
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.
18、（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车.
（2） ①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【解析】
（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；
（2）设调熟练工m人，招聘新工人n名,根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可．
【详解】
（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得:
，
解之得．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设抽调熟练工m人，招聘新工人n名，由题意得：
12（4m+2n）=240，
整理得，n=10-2m，
∵0＜n＜10，
∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x=-4
【解析】
先根据一次函数y=x+2的解析式求出点P的坐标，然后利用两个一次函数图象的交点与方程x+2=mx+n的解的关系即可得出答案．
【详解】
∵一次函数y=x+2与一次函数y=mx+n的图象交于点P（a，-2），
∴ ，
解得 ，
∴ ．
∵两个一次函数的图象的交点的横坐标为x+2=mx+n的解，
∴关于x的方程x+2=mx+n的解是 ，
故答案为：．
本题主要考查两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系，掌握两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键．
20、1
【解析】
由和平分，可证，从而可知为等腰三角形，则，由，，即可求出．
【详解】
解：中，AD//BC，
平分
故答案为1．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
21、8
【解析】
分析：
由已知条件易得CF是Rt△ABC斜边上的中线，DE是Rt△ABC的中位线，由此可得AB=2CF=2DE，从而可得DE=CF=8cm.
详解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，
∴AB=2CF，AB=2DE，
∴DE=CF=8（cm）.
故答案为：8.
点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.
22、1
【解析】
试题分析：根据解析式求得与坐标轴的交点，从而求得三角形的边长，然后依据三角形的面积公式即可求得．
试题解析：如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，
∵△ABC的面积为1，
∴OA×OB+OA×OC=1，
∴，
解得：b1﹣b2=1．
考点：两条直线相交或平行问题．
23、
【解析】
先提取a，再根据平方差公式即可因式分解.
【详解】
故填：.
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与提取公因式法因式分解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）(−3,−4)；（2）（2）(3,2)或(−1,−2)；（3）见解析；
【解析】
（1）根据“可控变点”的定义可得点（-3，4）的“可控变点”的坐标；
（2）分两种情况进行讨论：当m≥0时，点M的纵坐标为2，令2=x-1，则x=3，即M（3，2）；当m<0时，点M的纵坐标为-2，令-2=x-1，则x=3，即M（-1，-2）；
（3）根据P（x，2x-2），当x<0时，点P的“可控变点”Q为（x，-2x+2），可得Q的纵坐标为-2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=-2x+2，据此可得当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象．
【详解】
(1)根据“可控变点”的定义可得,点(−3,4)的“可控变点”为点(−3,−4)；
故答案为：(−3,−4)；
(2)∵点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，
∴①当m⩾0时,点M的纵坐标为2,令2=x−1,则x=3,即M(3,2)；
②当m<0时,点M的纵坐标为−2,令−2=x−1,则x=3,即M(−1,−2)；
∴点M的坐标为(3,2)或(−1,−2)；
故答案为：(3,2)或(−1,−2)；
(3)∵点P为直线y=2x−2上的动点，
∴P(x,2x−2)，
当x<0时,点P的“可控变点”Q为(x,−2x+2)，
即Q的纵坐标为−2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=−2x+2，
∴当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象如下图；
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于分情况讨论理解题意.
25、（1）b=3，m=1；（2）或
【解析】
（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
（2）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点P(1，b)在直线l1：y=2x+1上，
∴b=2×1+1=3；
∵点P(1，3)在直线l2：y=mx+4上，
∴3=m+4，
∴m=．
（2）当x=a时，yC=2a+1， yD=4a．
∵CD=2，
∴|2a+1(4a)|=2，
解得：a=或a=．
∴a的值为或．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据CD=2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
26、（1）点的坐标是，点的坐标是；（2）；（3）符合条件的点坐标为
【解析】
（1）先将点C坐标代入直线l1中，求出直线l1的解析式，令x=0和y=0，即可得出结论；
（2）先求出直线l2的解析式，表示出点E，F的坐标，在判断出OB=EF，建立方程求解，即可得出结论；
（3）先求出点P的坐标，分两种情况求出直线PQ，AQ的解析式，即可得出结论．
【详解】
解:（1）∵点C（2，）在直线l1：上，
∴，
∴直线l1的解析式为，
令x=0，∴y=3，∴B（0，3），
令y=0，∴，∴x=4，∴A（4，0），
故答案为：点的坐标是，点的坐标是.
（2）∵轴，点的横坐标为，∴点的横坐标也为，
∵直线与直线交于点
∵点是直线的一点，
∴点E的坐标是，
∵点是直线上的一点，
∴点的坐标是
∵当
（3）若点为轴正半轴上一点，，，
∴，.
当时
直线AB的解析式为：
直线PQ的解析式为
∴点的坐标是
当时
直线BP的解析式为，
直线AQ的解析式为
∴点的坐标是
综上，在平面直角坐标系中存在点，使得四个点能构成一个梯形，符合条件的点坐标为
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分