湖北省武汉市武昌七校2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份湖北省武汉市武昌七校2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．每条对角线平分一组对角
C．对边相等
D．对角线相等
2、（4分）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是28，18.6，1.1．导游小李最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）
A．甲团B．乙团C．丙团D．三个团都一样
3、（4分）下列说法正确的有几个（ ）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、（4分）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是
A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
5、（4分）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6、（4分）一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，在这次竟赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少要答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得（ ）
A．4x﹣1×（25﹣x）＞85B．4x+1×（25﹣x）≤85
C．4x﹣1×（25﹣x）≥85D．4x+1×（25﹣x）＞85
7、（4分）下列从左到右的变形，是因式分解的是
A．B．
C．D．
8、（4分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．x＜2且D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，中，对角线相交于点，，若要使平行四边形为矩形，则的长度是__________．
10、（4分）若一次函数的图象，随的增大而减小，则的取值范围是_____．
11、（4分）一组数据为5，7，3，，6，4. 若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是______.
12、（4分）如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________．
13、（4分）一组数据：2，3，4，5，6的方差是 ____
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（问题原型）如图，在中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点.求证：四边形是菱形.
（小海的证法）证明：
是的垂直平分线，
，（第一步）
，（第二步）
.（第三步）
四边形是平行四边形.（第四步）
四边形是菱形. （第五步）
（老师评析）小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了.
（挑错改错）（1）小海的证明过程在第________步上开始出现了错误.
（2）请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程，
15、（8分）解方程：
16、（8分）如图1，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点、点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，直接写出点的坐标；
（3）如图2，过点作直线交轴的负半轴于点，连接交轴于点，且的面积与的面积相等．
①求直线的解析式；
②在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
17、（10分）如图，王华在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时，发现身后 他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时 ，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知王华的身高是，如果两个路灯之间的距离为,且两路灯的高度相同，求路灯的高度.
18、（10分）计算：.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在一频数分布直方图中共有9个小长方形，已知中间一个长方形的高等于其它8个小长方形的高的和的，且这组数据的总个数为120，则中间一组的频数为_______．
20、（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
21、（4分）如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为_____．
22、（4分）已知，，则代数式的值为________．
23、（4分）若对于的任何值，等式恒成立，则__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．
25、（10分）（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为、2、；
（2）求此三角形的面积及最长边上的高.
26、（12分）（1）；（2）÷
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
列举出正方形具有而菱形不一定具有的所有性质，由此即可得出答案．
【详解】
正方形具有而菱形不一定具有的性质是：
①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等；
②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角.
故选D．
本题考查了正方形、菱形的性质，熟知正方形及菱形的性质是解决问题的关键．
2、C
【解析】
根据方差的意义即可得．
【详解】
方差越小，表示游客年龄波动越小、越相近
则他应该选择丙团
故选：C．
本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键．
3、C
【解析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形进行分析即可．
【详解】
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；
（3）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法正确；
（4）对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确．
正确的个数有3个，
故选C．
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法．
4、D
【解析】
将x1=1，x2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.
【详解】
将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得
12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0
对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得
2x+3=1或﹣3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3
故选D.
此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.
5、A
【解析】
由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，即可求出△ABO的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∴△ABO的周长＝OA+OB+AB＝12；
故选A．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6、C
【解析】
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
4x-1×（25-x）≥85，
故选C．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
7、D
【解析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是.其他不是因式分解:A,C右边不是积的形式，B左边不是多项式.
故选D.
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
8、B
【解析】
由已知得：且，
解得：且．
故选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据矩形的性质得到OA=OC=OB=OD，可得出结果．
【详解】
解：假如平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵OA=3，
∴BD=2OB=1.
故答案为：1．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握．
10、
【解析】
利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定m的取值范围．
【详解】
解：∵一次函数y=（m-1）x+2，y随x的增大而减小，
∴m-1＜0，
∵m＜1，
故答案为：m＜1．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0.
11、5
【解析】
首先根据众数的定义：是一组数据中出现次数最多的数值，即可得出，进而可求得该组数据的平均数.
【详解】
解：根据题意，可得
则该组数据的平均数为
故答案为5.
此题主要考查众数的理解和平均数的求解，熟练掌握，即可解题.
12、2
【解析】
正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线所在的直线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．
【详解】
解：依题意有S阴影=×4×4=2cm1．
故答案为：2．
本题考查轴对称的性质以及正方形的性质，运用割补法是解题的关键．
13、2
【解析】
=4，∴S2= [(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）二; （2）见解析.
【解析】
(1)由垂直平分线性质可知，AC和EF并不是互相平分的,EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明才可以得出，故第2步出现了错误;
(2) ）根据平行四边形性质求出AD∥BC，推出，证,推出，可得四边形是平行四边形，推出菱形.
【详解】
（1）二
（2）四边形是平行四边形，
．
．
是的垂直平分线，
．
在与中，
．
．
四边形是平行四边形．
．
四边形是菱形．
本题考查菱形的判定，以及平行四边形的性质，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形
15、（1）；（2），
【解析】
（1）直接用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程．
【详解】
解：（1）原方程分解因式得：
∴方程的解为：；
，
本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的不同方法的步骤是解此题的关键．
16、（1）；（2）；（3）点的坐标为或．
【解析】
（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，将已知点坐标代入并解方程（组）即可；
（2）先求出直线l1与坐标轴的交点坐标，可得：△COE是等腰直角三角形，再由翻折可得：OCHE是正方形．即可求出H的坐标；
（3）①先待定系数法求直线AO解析式为y=3x，再由△AEG的面积与△OFG的面积相等可得：EF∥AO，即可求直线l2的解析式；
②存在，由S△PBC=S△OBC可知：点P在经过点O或H平行于直线l1：y=-x+4的直线上，易求得点P的坐标为P（-1，1）或P（1，7）．
【详解】
解：（1）将、点代入得，解得：
直线的解析式为：；
将代入中，得，
双曲线的解析式为：．
（2）如图1中，
在中，令，得：
是等腰直角三角形，
由翻折得：
，
是正方形．
．
（3）如图2，连接，
①、．设直线解析式为，，
直线解析式为，
直线的解析式为：；
②存在，点坐标为：或．
解方程组得：，；
；
，
点在经过点或平行于直线的直线上，
易得：或
分别解方程组或得：或
点的坐标为或．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、翻折的性质、正方形的性质、三角形面积等；解题时要能够将这些知识点联系起来，灵活运用．
17、路灯的高度是
【解析】
根据题意结合图形可知，AP=OB，在P点时有，列出比例式进行即可即可
【详解】
解：由题意知：
即
解得
答：路灯的高度是
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键
18、3.
【解析】
根据二次根式的性质化简计算可得．
【详解】
解：原式.
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、15
【解析】
根据题意可知中间一组的频数占总的频数的，从而可以解答本题．
【详解】
∵频数分布直方图中共有9个小长方形，
且中间一个长方形的高等于其它8个小长方形的高的和的，
∴中间一组数据的频数占总频数的，而总频数为120，
∴中间一组的频数为：，
故答案为：15.
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确频数分布直方图表示的含义．
20、1
【解析】
连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【详解】
连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=BQ+QE=，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=1．
故答案为1．
考点：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21、1
【解析】
先求出每次延长后的面积，再发现规律即可求解.
【详解】
解：最初边长为1，面积1，
延长一次为，面积5，
再延长为51＝5，面积52＝25，
下一次延长为5，面积53＝125，
以此类推，
当N＝4时，正方形A4B4C4D4的面积为：54＝1．
故答案为：1．
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.
22、
【解析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式=，
当a=+1，b=-1时，原式=，
故答案为：2
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23、
【解析】
先通分，使等式两边分母一样，然后是使分子相等，可以求出结果。
【详解】
3x-2=3x+3+m
m=-5
故答案为：-5
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析，；（2）①，②．
【解析】
（1）首先证明，由此得出，从而证明四边形为菱形，然后在Rt△ABF中利用勾股定理进一步求解即可；
（2）①根据题意依次发现当点在上时，点在上以及点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，据此进一步求解即可；②以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，根据题意分当点在上、点在上时或当点在上、点在上时以及当点在上、点在上时三种情况进一步分析求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，．
∵垂直平分，垂足为，
∴，
在和△COF中，
∵
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形，
设菱形的边长，则
在Rt△ABF中，，
解得：，
∴；
（2）①显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形．因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形．
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
∵点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
∴，，
∴，
解得：，
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，；
②由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
其一：如图1，当点在上、点在上时，，，即；
其二：如图2，当点在上、点在上时，，，即；
其三：如图3，当点在上、点在上时，，，即，
综上所述，与满足的函数关系式是．
本题主要考查了菱形的判定、全等三角形性质及判定、平行四边形的动点问题与一次函数的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
25、（1）三角形画对 （2）三角形面积是5 高是
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理画出三角形即可；（2）求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论.
试题解析：
（1）如图，△ABC即为所求.
（2），
最长边的高为：.
26、 (1) -45;(2) 2+4.
【解析】
(1) 利用二次根式的乘法运算法则化简求出即可;(2) 利用二次根式的除法运算法则化简求出即可.
【详解】
(1) = =-18×=-45;
(2) ÷=(20-18+4)÷
=()÷ =2+4.
本题考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人