浙江省杭州市西湖区紫金港中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区紫金港中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若，则下列比例式成立的是
A．B．C．D．
2．（3分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是
A．B．
C．D．
3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为
A．B．C．D．
4．（3分）要从抛物线得到的图象，则抛物线必须
A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位
5．（3分）在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．若点在圆上，则值为
A．2或3B．或3C．或1D．或2
6．（3分）如图，的半径为5，为弦，若，则的长为
A．5B．C．D．
7．（3分）如图，△，，．将△绕点逆时针旋转得△，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是
A．B．C．D．
8．（3分）一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
9．（3分）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于
A．B．C．4D．3
10．（3分）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值
A．与，的值都有关B．与无关，但与有关
C．与，的值都无关D．与有关，但与无关
二、填空的6小题，每小题4分，共24分请把答案填在题中的横线上）.
11．（4分）二次函数的最小值为 ．
12．（4分）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ．
13．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为 ．
14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则 ．
15．（4分）已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ．
16．（4分）如图，已知圆的半径为3，圆心角，是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．
（1）若点在圆周上，则 ；
（2）在点的运动过程中，的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
17．（6分）已知，求：
（1）的值；
（2）若，求，的值．
18．（6分）如图，有4张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．
19．（8分）设二次函数，是常数，，部分对应值如下表：
（1）求该函数解析式；
（2）求的解．
20．（8分）如图，在矩形中，点分别在边，上，△△，，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
21．（8分）如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；
（1）求弧的长；
（2）求阴影部分的面积．
22．（8分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）．
（1）若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点．
（2）设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象和两点，求的值．
24．（12分）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）若，则下列比例式成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：、由比例的性质，得，故正确；
、由比例的性质，得，故错误；
、由比例的性质，得，故错误；
、由比例的性质，得，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
2．（3分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是
A．B．
C．D．
【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．
【解答】解：，
若点圆心，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为
A．B．C．D．
【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有2种，利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有：3，6，共2种，
出现3的倍数的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
4．（3分）要从抛物线得到的图象，则抛物线必须
A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位
【分析】按照“上加下减”的规律，可以求解．
【解答】解：按照“上加下减”的规律，抛物线向上平移3个单位得的图象．
故选：．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5．（3分）在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．若点在圆上，则值为
A．2或3B．或3C．或1D．或2
【分析】根据的坐标和圆的半径以及两点之间的距离即可求出答案．
【解答】解：，的半径是2，
，
，
解得或3．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握圆的定义和坐标系中两点之间的距离公式．
6．（3分）如图，的半径为5，为弦，若，则的长为
A．5B．C．D．
【分析】连接、，利用圆周角定理得出，再利用弧长公式求得即可．
【解答】解：连接、，
，
，
的长，
故选：．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出．
7．（3分）如图，△，，．将△绕点逆时针旋转得△，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据旋转可得，，得出．
【解答】解：将△绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8．（3分）一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
【分析】依据题意，由抛物线的顶点为，可得，即，故，又抛物线过，则，进而可得，结合，最后可以判断，，的符号．
【解答】解：由题意，抛物线的顶点为，
，即．
．
又抛物线过，
，
．
．
，
．
，．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．
9．（3分）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于
A．B．C．4D．3
【分析】作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，易得为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．
【解答】解：方法一：作于，作直径，连接，如图，
，
而，
，
，
，
，
，
而，
为△的中位线，
．
方法二：作和的弦心距、，则，，
证明△△，则．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
10．（3分）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值
A．与，的值都有关B．与无关，但与有关
C．与，的值都无关D．与有关，但与无关
【分析】依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论．
【解答】解：二次函数，
该抛物线的对称轴为直线，且，
当时，即，
当时，二次函数有最大值为：，即，
．
当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关．
当，
当时，二次函数有最大值为：．
．
当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关．
当时，即，
当时，二次函数取最小值为．
此时①若，即，
当时，二次函数的最大值为，
．
，与有关但与无关．
②若，即，
当时，二次函数的最大值为，即．
．
，与有关但与无关8，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空的6小题，每小题4分，共24分请把答案填在题中的横线上）.
11．（4分）二次函数的最小值为 4 ．
【分析】根据二次函数的顶点式直接写出即可．
【解答】解：二次函数的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，利用顶点式求最值需熟练掌握．
12．（4分）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则 9 ．
【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意，，
解得，
经检验是方程的解．
．
故答案为：9．
【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ．
【分析】连接，根据圆的半径都相等即可求出答案．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．
16．（4分）如图，已知圆的半径为3，圆心角，是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．
（1）若点在圆周上，则 ；
（2）在点的运动过程中，的最大值为 ．
【分析】（1）连接，可证得四边形是菱形，进而得出△是等边三角形，推出、、三点共线，再运用勾股定理即可求得；
（2）连接，延长交于，连接，可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离，由点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来，得出点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆，推出当点在的延长线上时，的值取得最大值，再运用直角三角形性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接，
点在圆周上，四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
△是等边三角形，
，
，
，
、、三点共线，
，且为的直径，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
以，为边作，
可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离，
点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来，
点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆，
当点在的延长线上时，的值取得最大值，
这个点记为点，对应的点记为点，连接，
，
，
，
，
连接，
，
，
，
△是直角三角形，且，
，
即的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
17．（6分）已知，求：
（1）的值；
（2）若，求，的值．
【分析】（1）利用已知表示出，的值，进而求出答案；
（2）直接利用已知，进而得出答案．
【解答】解：由，设，；
（1）；
（2），
，
解得：，
，．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
18．（6分）如图，有4张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
19．（8分）设二次函数，是常数，，部分对应值如下表：
（1）求该函数解析式；
（2）求的解．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）函数图象经过，，
，
解得，
该函数解析式为；
（2），
抛物线开口向上，
经过点，，
当时，，
故的解为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质．
20．（8分）如图，在矩形中，点分别在边，上，△△，，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果；
（2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果．
【解答】（1）解：△△，
，
，，，
，
，
矩形，
，
在△中，
；
（2）证明：△△，
，
在△中，，
，
．
【点评】本题考查了三角形相似的性质，以及矩形性质，勾股定理的应用，关键是合理应用三角形相似的性质．
21．（8分）如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；
（1）求弧的长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长；
（2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积△的面积”计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
弧的长是．
（2）
，
阴影部分的面积是．
【点评】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得；当时，，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得（舍去）或，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
【解答】解：（1），
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
当时，，
球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）．
（1）若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点．
（2）设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象和两点，求的值．
【分析】（1）函数的图象经过点，可得，推出，把代入得，，可得结论．
（2）依据题意，可得，，由，即可求得，得到，根据函数的图象经过点和两点的纵坐标相同，得到，从而得到，把点代入即可求得的值．
【解答】（1）证明：函数的图象经过点，
，
，
把代入得，，
函数的图象经过点；
（2）解：由题意得，，，
又，
．
．
．
又函数的图象经过点和，且两点的纵坐标相同，
．
，
．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．（12分）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
【分析】（1）如图1，设，，根据圆周角定理得到，连接，由为直径，得到，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到，等量代换得到，于是得到结论；
（3）如图2，连接，根据圆周角定理得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，设，，
则，
点为弧中点，
，
，
，
连接，
为直径，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．0
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