浙江省杭州市萧山区文渊中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市萧山区文渊中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若，则的值为
A．B．C．D．
2．（3分）若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是
A．明天下雨的可能性比较大B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨D．明天下雨的可能性比较小
3．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，的半径为5，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、，则弦的长为
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为
A．3B．2.5C．2D．1.5
6．（3分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为 米．
A．4B．5C．6D．7
7．（3分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为
A．85元B．80元C．75元D．70元
8．（3分）二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足
A．B．C．D．
9．（3分）如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点，（点在点右侧），则的长度为
A．B．8C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记△的面积为，△ 的面积为，则的最大值为
A．B．C．D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 （精确到．
12．（4分）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，在△中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ．
14．（4分）如图，在正六边形中，连接、，则的度数为 ．
15．（4分）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为 ．
16．（4分）如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20，21小题每小题6分，第22，23小题每小题6分，第24小题12分，共66分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（6分）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
18．（6分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）将图1中的格点△绕点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的△．
（2）在图2中画出一个以格点为顶点的△，使得△与△相似．
19．（6分）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，．
（1）求证：．
（2）若，，求弓形的面积．
20．（8分）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求，的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，求的取值范围．
21．（8分）如图，在△中，点在边上，点在边上，．
（1）求证：△△．
（2）已知，，，
①求的长度；
②若，求的长．
22．（10分）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．
（1）求圆弧型桥拱所在圆的半径；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
23．（10分）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．
（1）若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，连结，．求证：．
（3）在（2）的条件下，若．，求△的周长．
24．（12分）综合与实践
定义：将宽与长的比值为为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是 ．
（2）操作验证：
用正方形纸片进行如下操作（如图（2）
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点、分别落在边、上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市萧山区文渊中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据合比性质进行计算．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
2．（3分）若气象部门预报，明天下雨的概率是，下列说法正确的是
A．明天下雨的可能性比较大B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨D．明天下雨的可能性比较小
【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可．
【解答】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨，
因此选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提．
3．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线顶点式与图象的位置关系解答即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数性质，熟练掌握抛物线顶点式的特征是关键．
4．（3分）如图，的半径为5，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、，则弦的长为
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
是的直径，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（3分）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为
A．3B．2.5C．2D．1.5
【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可．
【解答】解：连接，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故选：．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
6．（3分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为 米．
A．4B．5C．6D．7
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，进而可得出，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【解答】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米，
，
米，
答：树高为4米，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
7．（3分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为
A．85元B．80元C．75元D．70元
【分析】设每月所获利润为，按照利润销售量（售价成本）列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【解答】解：设每月总利润为，依题意得，
，此图象开口向下，
当时，有最大值为4500元，
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
8．（3分）二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足
A．B．C．D．
【分析】根据的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当时，随的增大而增大，可得抛物线的对称轴，从而进行计算即可解答．
【解答】解：，
二次函数的图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点，（点在点右侧），则的长度为
A．B．8C．D．
【分析】连结，由正方形的性质得，，而，所以，则，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结，则，
四边形是边长为4的正方形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记△的面积为，△ 的面积为，则的最大值为
A．B．C．D．1
【分析】先将转化为，再过点作轴的平行线交的延长线于点，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点坐标表示出即可解决问题．
【解答】解：由题知，
．
过点作轴的平行线交的延长线于点，
轴，
△△，
．
解方程得，
，，
点坐标为，点坐标为，
．
将代入得，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
令点坐标为，
则，
，
则，
，
则当时，
有最大值为：，
即的最大值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 0.6 （精确到．
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解．
【解答】解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.6附近，
故投中的概率估计值为0.6；
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
12．（4分）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的函数表达式为 ．
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行求解．
【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得新抛物线的表达式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
13．（4分）如图，在△中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ．
【分析】连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，连接，则，
，，，
，，
，
△为等边三角形，
，
的长为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键，求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径是解决问题的前提．
14．（4分）如图，在正六边形中，连接、，则的度数为 30 ．
【分析】由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，求出．
【解答】解：六边形是正六边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出、和的度数是解题的关键．
15．（4分）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为 ．
【分析】由三角形重心的概念求出的长，由三角形外心的概念求出外接圆的半径，即可解决问题．
【解答】解：中，，，作于，
垂直平分，
的外心，内心在上，，
，
为的重心，
，
设外接圆的半径是，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外心，重心，关键是掌握三角形外心，重心的定义．
16．（4分）如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为 5 ．
【分析】依据题意，由矩形的性质可得，求出，由证得△△，得出，过点作于，可得，再证明△△，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，然后求解即可．
【解答】解：作，垂足为．
四边形是矩形，
．
．
．
个小正方形大小相同，
．
又，，
△△，
．
过点作于，如图所示：
四边形是矩形．
，．
，，
．
，
△△．
．
．
．
在△中，．
小正方形的边长为．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20，21小题每小题6分，第22，23小题每小题6分，第24小题12分，共66分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（6分）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可；
（2）设取走了个红球，根据随机摸出一个球是白球的概率是列出关于的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为；
（2）设取走了个红球，
根据题意，得：，
解得，
答：取走了3个红球．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
18．（6分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）将图1中的格点△绕点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的△．
（2）在图2中画出一个以格点为顶点的△，使得△与△相似．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合相似三角形的判定，画△的各边长分别为即可．
【解答】解：（1）如图1，△即为所求．
（2）如图2，分别取格点，，使，，，
此时△△，相似比为，
则△即为所求．
【点评】本题考查作图相似变换、作图旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，．
（1）求证：．
（2）若，，求弓形的面积．
【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论；
（2）根据垂径定理，证明，推出，可得，再利用弧长公式求解．
【解答】（1）证明：，是弦，是直径，
，
；
（2）解：如图，连接，，．
，是直径，是弦，
，，
，，
，
，
在△中，，，
，，
，
．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
20．（8分）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求，的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，求的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合得到当时，取得最小值；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
，
解得；
（2）由（1）知，，
，，
当时，有最小值；
（3）如图，
当时，求的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，解题的关键是待定系数法求出二次函数解析式．
21．（8分）如图，在△中，点在边上，点在边上，．
（1）求证：△△．
（2）已知，，，
①求的长度；
②若，求的长．
【分析】（1）是公共角，可直接得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得，由此可得出的长度，再由等角对等边可得结论．
【解答】（1）证明：，，
△△；
（2）解：△△，
，即，
，，
，
，
（负值舍去），
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等内容，得出△△是解题关键．
22．（10分）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．
（1）求圆弧型桥拱所在圆的半径；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．
【分析】（1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式；
②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解．
【解答】解：（1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1，
由题意得：，米，米，
米，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，
答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得：
，
解得：，
右边钢缆所在抛物线表达式为：；
②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点，
则米，米，
（米，
米，
（米，
答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的应用，勾股定理，解答本题的关键要明确：一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
23．（10分）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．
（1）若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，连结，．求证：．
（3）在（2）的条件下，若．，求△的周长．
【分析】（1）利用圆周角定理解答即可；
（2）连接，利用圆周角定理和三角形的内角和定理得到，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）连接，过点作于点，利用圆周角定理得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得，，，，利用（2）的结论和勾股定理求得，再利用△的周长解答即可．
【解答】（1）解：，
，
，
，
为直径，
，
；
（2）证明：连接，如图，
为直径，
，
，
，
．
由（1）知：，
，
．
在△和△中，
，
△△，
．
（3）解：连接，过点作于点，如图，
，
，
，
．
，
．
为直径，
，
，
．
为直径，
，
，．
由（2）知：，
，
，，
△的周长．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，特殊角的三角函数值，连接直径所对的圆周角和作出三角形的高线是解决此类问题常添加的辅助线．
24．（12分）综合与实践
定义：将宽与长的比值为为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是 ．
（2）操作验证：
用正方形纸片进行如下操作（如图（2）
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点、分别落在边、上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【分析】（1）将代入求得结果；
（2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，进而设，则，，进而得出，从而求得，进一步得出结论；
（3）依次对折正方形纸片，折痕为；对折矩形，折痕为，将正方形展开；连接，折叠纸片，使落在上，点落在点，折痕为；过点折叠纸片，使得点、分别落在边、上，展开，折痕为．则矩形是2阶奇妙矩形；
（4）延长，交的延长线于点，设，设，则，同理（2）求得，，从而得出，进而，进而表示出四边形的周长和四边形的周长，进一步得出结果．
【解答】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）证明：如图1，
延长，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
由折叠得，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
矩形是1阶奇妙矩形；
（3）解：如图2，
第一步：对折正方形纸片，折痕为；
第二步：对折矩形，折痕为，将正方形展开；
第三步：连接，折叠纸片，使落在上，点落在点，折痕为；
第四步：过点折叠纸片，使得点、分别落在边、上，展开，折痕为．
则矩形是2阶奇妙矩形；
（4）解：如图3，
四边形的周长与矩形的周长比值是定值，理由如下：
延长，交的延长线于点，
设，设，则，
同理（2）可得：，，
，
，
，
四边形的周长，
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四边形的周长，
四边形的周长与矩形的周长比值是．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．投篮次数
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