内蒙古乌兰察布市部分学校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古乌兰察布市部分学校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)，共18页。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的不同之处是（ ）
A．开口方向B．对称轴C．顶点D．形状
3．（3分）一元二次方程（x+1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x﹣1＝B．x+1＝2C．x+1＝﹣D．x+1＝﹣2
4．（3分）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
7．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝﹣1，x2＝3
9．（3分）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，那么列方程得（ ）
A．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10﹣40
B．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10+40
C．（8+x）（10+x）＝8×10﹣40
D．（8+x）（10+x）＝8×10+40
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a+2b+c＝0D．9a+c＞3b
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为 ．
12．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
13．（3分）在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，当x＞1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
14．（3分）在﹣3与﹣2中，是方程x2﹣x﹣6＝0的解的是 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
则该函数图象的对称轴是 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△BOC与△B'O'C关于点C中心对称，连接AB'．若AC＝4，BO＝8，则AB'＝ ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（1）已知，求的值；
（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，3），且经过点A（0，2），求该二次函数的解析式．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）；
（3）△ABC的面积为 ．（直接填结果）
19．（8分）对于不相等的实数m，n，定义一种新运算“❈”如下：m❈n＝．
（1）求﹣1❈的值；
（2）若﹣1❈的值是关于x的方程的一个根，求m的值；
（3）若a❈（﹣2）＝10，求实数a的值．
20．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
21．（11分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
22．（12分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．
（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
内蒙古乌兰察布市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的不同之处是（ ）
A．开口方向B．对称轴C．顶点D．形状
答案：解：函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的对称轴都是y轴，开口都向下，形状一样，而函数y＝﹣x2+2的顶点坐标为（0，2），函数y＝﹣x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
故选：C．
3．（3分）一元二次方程（x+1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x﹣1＝B．x+1＝2C．x+1＝﹣D．x+1＝﹣2
答案：解：∵（x+1）2＝2，
∴x+1＝±，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
故选：C．
4．（3分）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
答案：解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
答案：解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
答案：解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，∠CED＝∠B＝55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠CAD＝55°﹣45°＝10°，
故选：B．
7．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
答案：解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝﹣1，x2＝3
答案：解：由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可知：
函数的对称轴x＝1，
与x轴的交点为（3，0），设另一交点为（x，0）
则有1＝，
∴x＝﹣1，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
9．（3分）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，那么列方程得（ ）
A．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10﹣40
B．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10+40
C．（8+x）（10+x）＝8×10﹣40
D．（8+x）（10+x）＝8×10+40
答案：解：增加后的行数×增加后的列数＝原来行数×原来列数+40人，设增加了x行或列，得：
（8+x）（10+x）＝8×10+40，
故选：D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．2a+b＝0C．4a+2b+c＝0D．9a+c＞3b
答案：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∵x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为 y＝2（x+1）2+3 ．
答案：解：
将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，其解析式为y＝2（x+1）2，
再把y＝2（x+1）2图象向上平移3个单位，其解析式为y＝2（x+1）2+3，
故答案为：y＝2（x+1）2+3．
12．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ 5 ．
答案：解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
13．（3分）在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
答案：解：在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
14．（3分）在﹣3与﹣2中，是方程x2﹣x﹣6＝0的解的是 x＝﹣2 ．
答案：解：方程左边因式分解得：（x﹣3）（x+2）＝0，
即：x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x＝﹣3或x＝﹣2，
所以x＝﹣2是方程的解，
故答案为：x＝﹣2．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
则该函数图象的对称轴是 直线x＝﹣2 ．
答案：解：
∵当x＝﹣3和x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴点（﹣3，﹣3）和点（﹣1，﹣3）关于对称轴对称，
∴对称轴为x＝＝﹣2，
故答案为：直线x＝﹣2．
16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△BOC与△B'O'C关于点C中心对称，连接AB'．若AC＝4，BO＝8，则AB'＝ 10 ．
答案：解：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，OB＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°．
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O′C，
∴∠COB'＝∠BOC＝90°，
且O'C′＝OC＝0A＝AC＝AO′＝2，
∵AO′＝6，
∴OB＝8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB'＝＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（1）已知，求的值；
（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，3），且经过点A（0，2），求该二次函数的解析式．
答案：解：（1）由，得，
∴．
（2）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．
∵顶点坐标为（﹣1，3），∴y＝a（x+1）2+3，
把（0，2）代入得2＝a+3，解得a＝﹣1，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）；
（3）△ABC的面积为 4 ．（直接填结果）
答案：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4．
故答案为：4．
19．（8分）对于不相等的实数m，n，定义一种新运算“❈”如下：m❈n＝．
（1）求﹣1❈的值；
（2）若﹣1❈的值是关于x的方程的一个根，求m的值；
（3）若a❈（﹣2）＝10，求实数a的值．
答案：解：（1）﹣1❈＝（）2+（﹣1）+＝1+；
（2）∵﹣1❈＝1+，
∴方程的一个根式1+，
∴（3﹣2）×（1+）2+（﹣1）×（1+）+m＝0，
解得m＝﹣2；
（3）当a＞﹣2时，a❈（﹣2）＝a2+a﹣2＝10，
解得a＝3或a＝﹣4（舍），
∴a＝3；
当a＜﹣2时，a❈（﹣2）＝（﹣2）2+a﹣2＝10，
解得a＝8（舍）；
综上所述：a的值为3．
20．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
答案：（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，
∴2a+b＝0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8＝0，
∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8＝0，
解得：a＝1，则b＝﹣2，
∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，
则（x﹣4）（x+2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．
方法二：
∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣8的对称轴是直线x＝1，
∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，
∴方程的另一个根为：﹣2．
21．（11分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
答案：解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为（0，2.8）；
把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，
解得：a＝﹣0.4，
∴a的值是﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∴C（5，0），
在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，
在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.82，
∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
22．（12分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．
（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
答案：解：（1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为x，
依题意，得64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25%；
（2）设售价应上涨y元，则每天可售出（400﹣20y）千克，
依题意，得（8﹣6+y）（400﹣20y）＝2240，
整理，得y2﹣18y+72＝0，
解得y1＝12，y2＝6．
∵该水果售价不能超过15元，
∴y＝6符合题意．
答：售价应上涨6元．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
答案：解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）存在．
理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．
令y＝0，则x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；
（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…