湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 椭圆离心率为，则（）
A. B. C. D. 2
3. 已知直线和直线，则“”是“”的（）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C D.
5. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点P，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（）
A B. C. D.
7. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（）

A. 存在满足条件的点M，使
B. 当点Q在线段上移动时，必存在点M，使
C. 三棱锥的体积存在最大值和最小值
D. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于方程，下列说法正确的是（）
A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则该方程表示圆，其半径为
C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D. 若，则该方程表示两条直线
10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（）
A. 圆C的方程是
B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C. 圆C与圆有四条公切线
D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（）
A. B. 的面积等于
C. 直线的斜率为D. 的离心率等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________.
13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________．
14. 设I、G分别是的内心和重心，若于F，则以B、C为焦点且过点A的椭圆的离心率是____________．
三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知圆是以点和点2,0为直径端点圆，圆是以点和点0,2为直径端点的圆．
（1）求圆，的方程；
（2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦AB的长.
16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．
18. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.
19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点.
（1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围；
（2）若在上截点为与.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.