广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,,若,则实数的值为( )
A.B.C.D.2
2．是被长为1的正方体的底面上一点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,则在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱,的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为( )
A.B.C.D.
5．已知四棱锥，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，.设，，，则以为一组基表示为( )
A.B.C.D.
6．在四面体OABC中,空间的一点M满足.若,,共面,则( )
A.B.C.D.
7．已知向量,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．“长太息掩涕兮,哀民生之多艰”,端阳初夏,粽叶飘香,端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念,将粽子整体视为一个三棱锥,肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球,图中作为球O）.如图:已知粽子三棱锥中,,H、I、J分别为所在棱中点,D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点,小玮同学切开后发现,沿平面CDE或平面HIJ切开后,截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,在棱长为的正方体中,E为的中点,F为的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( )
A.
B.向量与所成角的余弦值为
C.平面AEF的一个法向量是
D.点F到平面AEF的距离为
10．在正三棱柱中，，点P满足，则下列说法正确的是( )
A.当时，点P在棱上
B.当时，点P到平面的距离为定值
C.当时，点P在以，的中点为端点的线段上
D.当，时，平面
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案,如图1,把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则( )
A.
B.直线CQ与平面所成角的正弦值为
C.点到直线CQ的距离是
D.异面直线CQ与BD所成角的余弦值为
三、填空题
12．正三棱柱的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线上求一点N,当CN的长为________时,使.
13．四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.
14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若,,且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为________.
四、解答题
15．如图,在长方体中,,,点E在棱AB上移动.
（1）当点E在棱AB的中点时,求平面与平面所成的夹角的余弦值;
（2）当AE为何值时,直线与平面所成角的正弦值最小,并求出最小值.
16．如图所示,直三棱柱中,,,,M,N分别是,的中点.
(1)求BN的长;
(2)求的值.
(3)求证：BN⊥平面.
17．如图,在四棱维中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正切值;
（2）在PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
18．如图1,在边长为4的菱形ABCD中,,点M,N分别是边BC,CD的中点,,.沿MN将翻折到的位置,连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥.
（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG?证明你的结论;
（2）若平面平面MNDB,线段PA上是否存在一点Q,使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为?若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.
19．如图,四棱锥中,四边形ABCD是菱形,平面ABCD,,,E,F分别是线段BD和PC上的动点,且.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线DF与平面PBC所成角的正弦值的最大值;
（3）若直线AE与线段BC交于M点,于点H,求线段CH长的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：向量,,
若,
则,
.
故选:C.
2．答案：B
解析：如图,以点D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,设,,,,
,,
,
当时,取得最小值,
当或1,或1时,取得最大值0,
所以的取值范围是.
故选:B.
3．答案：A
解析：向量在向量上的投影向量为
.
故选:A.
4．答案：D
解析：以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,则,
取,得,
所以点G到平面的距离为,
故选:D.
5．答案：D
解析：
，
即，故选D.
6．答案：D
解析：在四面体OABC中,不共面,而,
则由,,,得,所以.
故选:D
7．答案：C
解析：因为,,
所以,
当时,等号成立,故的最小值为.
故选:C.
8．答案：B
解析：如图所示,取AB中点为F,,
为方便计算,不妨设,
由,可知,
又D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点,
则,
且,、,PF,平面PCF,
即平面PCF,
又平面ABC,则平面平面ABC,
设肉馅球半径为r,,
由于H、I、J分别为所在棱中点,且沿平面HIJ切开后,截面中均恰好看不见肉馅,
则P到CF的距离,,,
又,解得:,
故,
又,
解得,,
所以:,解得,,
由以上计算可知:为正三棱锥,
故,
所以比值为.
故选:B.
9．答案：BCD
解析：由题可知,,,,,,,
所以,故选项A错误;
,,所以,故选项B正确;
,,记,
则,,故,,
因为,AE,平面AEF,
所以垂直于平面AEF,故选项C正确;
,所以点D到平面AEF的距离,故选项D正确;
故选:BCD
10．答案：BCD
解析：当时，，故点P在上，故A错误；当时，因，故点P在棱上，因为平面，所以点P到平面的距离为定值，故B正确；当时，取的中点D，的中点E，则，即，又，故P在线段上，故C正确；当，时，点P为的中点，连接，，因为，易证，，从而可得平面，从而可得，又，从而得到平面，故D正确.故选BCD.
11．答案：BC
解析：A选项,以A为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,
,,,
则,A错误;
B选项,平面的法向量为,
,设直线CQ与平面所成角的大小为,
则,B正确;
C选项,,
点到直线CQ的距离为,C正确;
D选项,,
设异面直线CQ与BD所成角大小为,
则,D错误.
故选:BC
12．答案：/0.125
解析：取的中点为,连接,AM,
由正三棱柱性质可得,,,
因此以M为坐标原点,以AM,BM,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
易知,,,设CN的长为a,且,可得;
易知
若,则,解得,
所以当CN的长为时,使.
故答案为:
13．答案：
解析：因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,
所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,则重心,
因而,,,
设平面PAD的一个法向量为,
则,令则,
则,
故答案为:.
14．答案：117m
解析：如图,过E做平面ABCD,垂足为O,过E分别做,,垂足分别为G,M,
连接OG,OM,
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和,
所以.
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
因为,EO,平面EOG,,
所以平面EOG,因为平面EOG,所以,
同理,,又,故四边形OMBG是矩形,
所以由得,所以,所以,
所以在直角三角形EOG中,
在直角三角形EBG中,,,
又因为,
所有棱长之和为.
故答案为:117m
15．答案：（1）
（2）当时,直线与平面所成角的正弦值最小,最小值为
解析：（1）以D为坐标原点,DA,DC,所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
当点E在棱AB的中点时,则,,,,,
则,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,
所以平面的一个法向量为,
又平面的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为;
（2）设,
则,,,,,
则,,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,
所以平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,
令,
则,
当时,取得最小值,最小值为.
16．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)如图,建立以点O为坐标原点,CA、CB、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系.
依题意得,,
;
(2)依题意得,,,,,
,,,,,
所以;
(3)证明：,,,.
,,,
,
,
,,即,,
又平面,平面,,
平面.
17．答案：（1）
（2）存在点M,使得平面PCD,.
解析：（1）取AD的中点为O,连接PO,CO,
因为,所以,又平面平面ABCD,
平面平面,平面,
所以平面ABCD,又,所以,
,,所以,,所以,
所以以O为坐标原点,分别以OC,OA,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
所以,,,
设平面PCD的一个法向量为,
则,,令,则,,
所以,
设直线PB与平面PCD所成角为,
,
所以,所以,
所以直线PB与平面PCD所成角的正切值.
（2）在PA上存在点M,使得,
所以,所以,
所以,所以,
因为平面PCD,所以,
即,解得,
所以存在点M,使得平面PCD,此时.
18．答案：（1）总有平面平面PAG,证明详见解析
（2）存在,Q是PA的靠近P的三等分点,理由见解析.
解析：（1）折叠前,因为四边形ABCD是菱形,所以,
由于M,N分别是边BC,CD的中点,所以,
所以,
折叠过程中,,,,GP,平面PAG,
所以平面PAG,
所以平面PAG,
由于平面PBD,所以平面平面PAG.
（2）存在,理由如下:
当平面平面MNDB时,由于平面平面,平面PMN,,
所以平面MNDB,由于平面MNDB,所以,
由此以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
依题意可知,,,,,
,,
设,则,
平面PMN的法向量为,
,
设平面QDN的法向量为,
则,
故可设,
设平面QDN与平面PMN所成角为,
由于平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为,
所以,
解得,
所以当Q是PA的靠近P的三等分点时,平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由于四边形ABCD是菱形,且,取CD中点G,则,
又平面ABCD,可以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,,
由,
可知,,
,
易知是平面PAB的一个法向量,
显然,且平面PAB,即平面PAB;
（2）由上可知,
设平面PBC的一个法向量为,则,
令,则,,
设直线DF与平面PBC所成角为,
则,
易知时,,即此时取得最大值;
（3）设,,
由于H,M,P共线,不妨设,易知,
则有,
所以,
则,
即
记,则,
易知恒成立,所以,即单调递减,
所以.