建平县第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份建平县第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,则( )
A.,B.,
C.,D.,
2．若直线平面,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面内的一条直线B.l仅垂直平面内与l相交的直线
C. l仅垂直平面内的两条直线D.l与平面内的任意一条直线垂直
3．已知集合,集合,集合,则( )
A.B.C.D.
4．在中,,,,则( )
A.1B.2C.D.
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是( )
A.16B.12C.D.
6．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,,则此三角形( )
A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数不确定
7．如图,在矩形ABCD中,,,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值为( )
A.9B.10C.11D.12
8．如图,正三柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱,一小虫从点A途经三个侧面爬到点,则小虫爬行的最短距离为( )
A.4B.5C.D.
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位,复数,,则( )
A.的共轭复数为B.
C.为实数D.在复平面内对应的点在第一象限
10．已知锐角三角形三边长分别为2,7,x,则实数x的可能取值是( )
A.B.C.7D.
11．如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制,无檐,形如圆锥,俗称喇叭式,材料多为藤、竹制成.外裹绫罗,多用白色,也有用褐色、黄色等,不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量,现有一个官帽,帽坡长,帽底宽,关于此官帽,下面说法正确的是( )
A.官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B.过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C.若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上,则该球的表面积为
D.此官帽放在平面上,可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
三、填空题
12．已知函数,则的单调递减区间为__________.
13．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且的外接圆半径为1,若,则的周长为__________.
14．如图,在正三楼柱中,,,则直线与直线所成角的正切值为___________.
四、解答题
15．已知i是虚数单位，复数，.
（1）当复数z为实数时，求m的值；
（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
17．为了做好下一阶段数学的复习重心,某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩,随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内）,将所得成绩分成7组：,,,,,,,整理得到样本频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值,并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数;（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表,中位数精确到0.1）
(2)从样本内数学分数在,的两组学生中,用分层抽样的方法抽取5名学生,再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享,求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
18．已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,的面积为S,且满足.
(1)求角A的大小;
(2)若,求周长的最大值.
19．如图,在四棱锥中,底面是矩形,,.M是棱PD上一点,且,平面.
(1)证明：平面平面;
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,得,则,.故选：A.
2．答案：D
解析：若直线平面,则l与平面内的任意一条直线都垂直.
3．答案：D
解析：由,,,
可得,,,,
故选：D.
4．答案：C
解析：,
则由正弦定理得,,得.
5．答案：A
解析：在直观图中，，
可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，
则另一边长为，所以原图形的周长为．
故选：A.
6．答案：C
解析：由正弦定理,得,解得.
因为,所以.又因为,所以或,
故此三角形有两解.
故选：C
7．答案：C
解析：以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
如图所示.所以,,,设（）,
所以,,所以,解得,
所以.
故选：C.
8．答案：C
解析：三柱的侧面展开图为一个矩形,如图所示,因为正的边长为3,侧棱,
所以,,所以,
即小虫爬行的最短距离为.
故选：C
9．答案：BD
解析：因为的共轭复数为,所以A不正确;
因为,,所以B正确;
因为,所以C不正确;
因为点的坐标在第一象限,所以D正确.
10．答案：BC
解析：
解得.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：如图所示,,∴,,,所以A是正确的;
,所以最大面积应为200,所以B是错误的;
设外接球的球心为,则,,,可见球心在AD延长线上,,所以C正确;
设O是内切球的球心,则,,,得到最大半径为,所以D是正确的.
12．答案：
解析：令,则在定义域内为单调递减函数,的单调递增区间为,为函数的单调递减区间.
13．答案：
解析：因为,所以,,,,所以的周长为.
14．答案：
解析：连接交于O点,作F点为的中点,连接OF,则与所成的角等于OF与所成的角,
在中,,,,,.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）为实数，，解得或.
（2）为纯虚数，解得.
16．答案：(1)；
(2)
解析：(1)由正弦定理有，
因为，，可得；
(2)由(1)知，，，
故有.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意知.解得,
数学成绩的平均数为.
由频率分布直方图知,分数在区间、内的频率分别为0.34,0.62,
所以该校数学成绩的中位数,则,解得;
(2)抽取的5人中,分数在内的有（人）,在内的有1人,
记在内的4人为a,b,c,d,在内的1人为A,从5人中任取3人,有,,,,,,,,,,共10种,
选出的3人中恰有一人成绩在中,有,,,,,,共6种,
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
18．答案：(1)
(2)12
解析：(1),
,,
,,又,.
(2),,
由余弦定理得,,,
（当且仅当时取“＝”）,,,
的最大值为8,的最大值为12,周长的最大值为12.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：在矩形ABCD中,所以,
,,,,,
,
在中,,,M为PD中点,, ,即,
又,,平面,平面,平面,
又平面,平面平面;
(2)由(1)知,,
平面,平面,
∴,又,,AD,平面,
平面,又,∴平面,又平面, ,
,平面平面,平面,
平面,由(1)知M为PD中点,所以M到平面ABCD距离为,
设D到平面ACM的距离为h,由,即,解得,
设直线CD与平面ACM所成的角为,则.