江苏省高邮中学2024-2025学年高一上学期十月检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省高邮中学2024-2025学年高一上学期十月检测数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则如图阴影部分表示的集合是( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.或D.或
3．设集合,,若,则( )
A.1B.0C.-1D.1或-1
4．已知真包含于,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知集合,.若,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
6．已知a,b为正实数,且满足,则的最小值为( )
A.B.1C.D.2
7．已知a,b,,则下列命题正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
8．若a、b、c是互不相等的正数,且,则下列关系中可能成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足,,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称（M,N）为戴德金分割.试判断下列选项中,可能成立的是( )
A.,是一个戴德金分割
B.M没有最大元素,N有一个最小元素
C.M有一个最大元素,N有一个最小元素
D.M没有最大元素,N也没有最小元素
10．已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
11．已知a,b均为正实数,且,则( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．若,则与的大小关系为_____________.
13．若“”是“”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为______________.
14．已知集合,,且,,则_______________.
四、解答题
15．已知命题,,命题,.
(1)若命题为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和均为真命题,求实数a的取值范围.
16．已知,
(1)若,分别求,的值.；
(2)若,用列举法表示集合B.
17．已知非空集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
18．已知有限集,如果A中的元素满足,就称A为“完美集”.
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由;
(2) ,是两个不同的正数,且是“完美集”,求证：,至少有一个大于2;
(3)若为正整数,求：“完美集”A.
19．对x,y定义一种新的运算P,规定：(其中,m,),已知,.
(1)求m,n的值；
(2)若,解不等式组.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意或,
图中阴影部分为,
故选：C.
2．答案：B
解析：由可得或,
所以,
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意,当时,,此时不满足集合中元素互异性;
当时,且,则,此时满足条件.
故.
故选：A.
4．答案：D
解析：由解得,或,所以,
当时,方程无解,则 ,满足题意;
当时,由解得,,
所以或3,解得或,
综上,实数a的取值范围是,
故选：D.
5．答案：C
解析：因为,则,
若,则,解得;
若,则,解得;
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为,
所以,
因为a,b为正实数,所以,
可得,即,
所以,即,
当且仅当即,时等号成立.
故选：C.
7．答案：C
解析：选项A中,时,不成立;
选项B中,时,则,故结论不成立;
选项C中,若,则,故,结论成立;
选项D中,若,则,故,结论不成立.
故选：C.
8．答案：C
解析：a、c均为正数,且, .
又,,, ,故排除A、B、D.
故选：C.
9．答案：BD
解析：,,不是戴德金分割,A错误;
,,显然集合M中没有最大元素,集合N中有一个最小元素,即选项B可能;
假设答案C可能,即集合M、N中存在两个相邻的有理数,显然这是不可能的,
,,
显然集合M中没有最大元素,集合N中也没有最小元素,即选项D可能.故选BD.
10．答案：BCD
解析：由函数有意义可得：即,故,
由,可得：.
因,故A项错误,B项正确;因,故C项正确;
又,得.故D项正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：因为a,b均为正实数,且,
对A, ,当且仅当时取“=”,正确;
对B, ,当且仅当时取“=”,错误;
对C,
,当且仅当时取“=”,正确;
对D,
,设,
则上式,
当且仅当,时取“=”,正确;
故选：ACD.
12．答案：
解析： , .
故答案为:.
13．答案：
解析：由题设,即.
故答案为：.
14．答案：-14
解析：因为,所以,将代入,得,
此时方程即为,有两不等实根1,-2,
所以,
因为,,所以,
所以,
所以.
故答案：-14.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)若命题为假命题,则命题p为真命题,
即在恒成立,所以,
即实数a的取值范围是.
(2)当命题q为真命题时,因为,,
所以,解得或,
因为为真命题,则,
又由(1)可知,命题p为真命题时,
所以且,即实数a的取值范围是.
16．答案：(1),
(2)答案见解析
解析：(1)由,得或,
而,则1,2是方程的二根,
所以,.
(2)由(1)知,,由,得或或,
当时,,则；
当时,,则；
当时,,则.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,又,
所以.
（2）若“”是“”的充分条件,即,
因为P是非空集合,所以,即,
所以,解得,
故实数a的取值范围为:.
18．答案：(1)是,理由见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由,,则集合是“完美集”,
(2)若,是两个不同的正数,且是“完美集”,
设,
根据根和系数的关系知,和相当于的两根,
由,解得或（舍去）,
所以,又,均为正数,
所以,至少有一个大于2.
(3)不妨设A中,
由,得,
当时,即有,又为正整数,所以,
于是,则无解,即不存在满足条件的“完美集”;
当时,,故只能,,求得,
于是“完美集”A只有一个,为.
当时,由,即有,
而,
又,因此,故矛盾,
所以当时不存在完美集A,
综上知,“完美集”A为.
19．答案：(1),
(2)
解析：(1)由题意,可知,
,
解得,；
(2)由(1)知,,
因为,
所以,,
所以,,
所以.
所以,
,
由,得,
由,得,
综上,原不等式组的解集为.