重庆市渝西中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)
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这是一份重庆市渝西中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案),共11页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.集合用列举法表示为( )
A.B.C.D.
2.命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C., D.,
3.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
4.下列命题为真命题的是( )
A.,当时,
B.集合与集合是相同的集合
C.若,则
D.所有的素数都是奇数
5.若命题:“,使”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.已知p:,那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
7.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:,,,然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字,并让丁同学猜出该数字,以下是甲、乙、丙三位同学的描述,甲:此数为小于5的正整数;乙:是的必要不充分条件;丙:是的充分不必要条件.则“”表示的数字是( )
A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3
8.已知,则的最大值为( )
A.4B.6C.8D.10
二、多项选择题
9.已知,,则( )
A.B.C.D.
10.已知不超过5的实数组成的集合为M,,则( )
A.B.C.D.
11.用表示非空集合A中元素的个数,定义,已知集合,,则下面正确结论正确的是( )
A.,
B.,
C.“”是“”的充分不必要条件
D.若,则
三、填空题
12.若全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为___________.
13.已知,,则的取值范围是______________.
14.设集合,,若,则实数t的取值范围为_____________.
四、解答题
15.已知全集,集合,或.
(1)求,;
(2)求.
16.已知非空集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
17.(1)已知,求的最小值;
(2)已知,求的最大值.
18.已知集合.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A;
(3)若A中至少有一个元素,求的取值范围.
19.学习了不等式的内容后,老师布置了这样一道题:
已知,,且,求的最小值.
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”,但结果并不相同.
李雷的解法:由于,所以,而.那么,则最小值为.
韩梅梅的解法:由于,所以,而,则最小值为.
(1)你认为哪位同学的解法正确,哪位同学的解法有错误?(错误的需说明理由)
(2)为巩固学习效果,老师布置了另外两道题,请你解决:
(i)已知,,,且,求证:;
(ii)已知,,,求的最小值.
参考答案
1.答案:B
解析:易知.
故选:B.
2.答案:C
解析:由题意,命题“,”的否定为,,
故选:C
3.答案:A
解析:,
故.
故选:A.
4.答案:C
解析:对于A,当,,时,,故A错误;
对于B,,,所以,故B错误;
对于C,若,则,故C正确;
对于D,2是素数,但2是偶数,故D错误;
故选:C.
5.答案:C
解析:因为“,”是真命题,
所以,解得.
故选:C.
6.答案:B
解析:解得.
对于选项A,,反之不能推出,所以是命题p的一个充分不必要条件,故A错误;
对于选项B,,反之不能推出,所以是命题p的一个必要不充分条件,故B正确;
对于选项C,不能推出,反之也不能推出,所以是命题p的一个既不充分也不必要条件,故C错误;
对于选项D,是命题p的充要条件,故D错误.
故选:B.
7.答案:C
解析:因为此数为小于5的正整数,所以.因为是的必要不充分条件,是的充分不必要条件,所以,,故且,解得,故“”表示的数字是1或2.故选C.
8.答案:A
解析:因为,则,
可得,即,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最大值为4.
故选:A.
9.答案:ABC
解析:因为,,根据不等式的性质,则,故A正确;
同理:,故BC正确.
如,,但不成立,故D错误.
故选:ABC.
10.答案:ACD
解析:对于A,因为,所以,所以A正确,
对于B,因为,
所以,所以B错误,
对于C,因为,所以,
所以,所以C正确,
对于D,因为,所以,
所以,所以D正确.
故选:ACD.
11.答案:AC
解析:对于A,当时,,此时,A正确;
对于B,当时,,此时,B错误;
对于C,当时,,则,而,,因此;
当时,而,则或,若,满足,解得;
若,则方程的两个根,都不是方程的根,
且,解得,因此“”是“”的充分不必要条件,C正确;
对于D,由,而,得或,由C知:或,
因此,,D错误.
故选:AC.
12.答案:
解析:由题知:图中阴影部分表示,
,则.
13.答案:
解析:设,
所以,解得,
所以,
又,所以,
又,
所以上述两不等式相加可得,
即,
所以的取值范围是,
故答案为:16.
14.答案:
解析:因为,
所以,
当时:,满足题意;
当时:无解;
所以实数t的取值范围为.
故答案为:.
15.答案:(1)或
(2)
解析:(1)集合,或,
则或,
或,所以或.
(2)由或,得,
所以.
16.答案:(1)
(2)
解析:(1)当时,,,又,
所以.
(2)若“”是“”的充分条件,即,
因为P是非空集合,所以,即,
所以,解得,
故实数a的取值范围为:.
17.答案:(1)9
(2)
解析:(1)因为,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为9.
(2)因为,所以,
当且仅当,即时取等号,
故的最大值为.
18.答案:(1)
(2)当时,集合,当时,集合;
(3)
解析:(1)是空集,
且,
,解得,
所以a的取值范围为:;
(2)①当时,集合,
②当时,,
,解得,此时集合,
综上所述,当时,集合,当时,集合;
(3)A中至少有一个元素,则当A中只有一个元素时,或;
当A中有2个元素时,则且,即,解得且;
综上可得,时A中至少有一个元素,即.
19.答案:(1)韩梅梅的解法正确;李雷的解法错误,理由见解析
(2)(i)证明见解析;
(ii)
解析:(1)韩梅梅的解法正确,李雷的解法错误;
在李雷的解法中,,等号成立时;
,等号成立时,
那么取得最小值时,,
这与已知条件是相矛盾的.
(2)(i),,,且,
,当且仅当时取等号.
(ii)因为,所以,
即
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以.
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