中考数学：答题技巧与模板构建 专题14 一题多解型 （学案原卷版）

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几何中一题多解型问题是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一、而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答案不全，从而失分．
应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．
分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决．该问题是中招考试中必考的题型，一般以压轴题的形式出现，具有一定的难度，需要学生多练习、多总结．
模型01 翻折问题
几何变换中的翻折（折叠、对称）问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力．
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样．无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键．本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握．
常见翻折模型：

模型02 旋转问题
旋转问题在近几年各地中考主要以填空题、选择题、解答题的形式进行考查，各地试题有容易题、中档题也有压轴题；考查的内容主要涉及的有：中心对称和中心对称图形的概念与性质；图形的旋转的概念与性质；考查的热点主要有旋转对称图形与中心对称图形；旋转的性质；旋转变换；几何变换综合问题．
三角形共顶点旋转模型：
正方形共顶点旋转模型：
旋转相似
模型03 平移问题
对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角．
1．定义
在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素
一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质
（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；
（2）各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）平移前后的图形全等．
模型04 存在性问题
多可能性问题中，等腰三角形与直角三角形的存在性考试较多．
等腰三角形中的分类讨论：
凡是涉及等腰三角形的存在性问题优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题．注意一下几种谈论形式：（1）已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；（2）已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；（3）遇高线需分高在△内和△外两类讨论；（4）中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
直角三角形的存在性问题谈论：
一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、锐角三角函数的问题联系在一起．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照相似或勾股定理列方程．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
模型05 动点问题
模型一 动点运动轨迹--直线型
【模型解读】 （1）定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．（2）定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直线．
基本图形：
模型二 动点运动轨迹--圆或圆弧型
【模型解读】 （1）“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．（2）用定弦对定角定圆：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边（定长）→想直径→定外心→现“圆”形；见定角→找对边（定长）→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．
基本图形：
模型三 动点轨迹为其他曲线，构造三角形
【模型解读】 （1）当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．（2）在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线．（3）这类问题归属为滑竿问题．
基本图形：
模型四 双动点型
【模型解读】 （1）对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；（2）对于多个点运动并且是联动的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．
模型01 翻折模型
考｜向｜预｜测
翻折模型该题型近年主要以多可能性问题和应用题形式出现，多可能性问题一般为填空题的最后 一题，具有一定的难度，在各类考试中均为压轴题型．翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的．以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·江苏·一模）
1．如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为 ．
例2．（2024·河南周口·一模）
2．如图，在中，是上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得的对应点重合于点．当为直角三角形时，线段的长为
模型02 旋转问题
考｜向｜预｜测
旋转问题该题型主要以选择、填空形式出现，旋转模型相对固定，在各类考试中出题频率较高．掌握旋转图形的性质是解题的重点，在旋转图形中对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等；图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·河南）
3．如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 ．
例2．（2024·山东·一模）
4．如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为 ．
模型03 平移问题
考｜向｜预｜测
平移问题在近几年各地中考主要以填空题或选择题的形式进行考查，属于中、低档题，较为简单；少数题目以解答题的形式进行考查，属于中档题，难度一般；考查的内容主要涉及的有：平移的概念及要素；平移的性质；平移变换作图；利用平移设计图案；考查的热点主要有平移的性质；平移变换作图；利用平移设计图案．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·湖南）
5．如图，和都是等边三角形，，，边，位于同一条直线上，点与点重合．现将固定不动，把自左向右沿直线平移，移出外（点与重合）时停止移动．在移动过程中，当两个三角形重合部分的面积为时，平移的距离是 ．
例2．（2023·贵州）
6．如图，两个直角三角板与按如图所示的方式摆放，其中，，，且共线，将沿方向平移得到，若点落在上，则平移的距离为 ．
模型04 存在性问题
考｜向｜预｜测
存在性问题该题型主要是在填空题的多可能性试题、综合性大题中考试较多，具有一定的综合性和难度．这部分考题的考查形式多样，主要考查等腰三角形性质与判定，与等腰三角形有关的证明及计算，与直角三角形有关的证明与计算，在命题点下拓展其他新的考查形式．形式上年年有创新，年年有新意．从各省近几年真题分析，该题型均与其他知识结合考查，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生思维认知能力的考查．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·福建·一模）
7．如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 ．
例2．（2024·陕西·一模）
8．如图，在中，，，点为边的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点．当为直角三角形时，的长为 ．
模型05动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题该题型主要是在填空题的多可能性试题、综合性大题中考试较多，具有一定的综合性和难度．本题型在各省的中招考试中考试频率较高，均位于填空题的第15题，分值3分，且都有两个答案，属于几何题型的多可能性问题讨论．难度系数较难，得分率较低．本题属于几何范畴，主要借助折叠或旋转的思想应用在三角形或四边形中，涉及的知识点主要有勾股定理，三角形的全等或相似，四边形中的特殊平行四边形的性质，本题一般有两个答案．
答｜题｜技｜巧
例1．（2023·河北）
9．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，当点P到达点A时，点Q也停止运动．以，为邻边作平行四边形，，分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．连接，，点D关于直线的对称点为点，当点恰好落在的边上时，t的值为 ．
例2．（2023·山东）
10．如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ．
（2023·山西）
11．如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
（2023·内蒙古）
12．如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是 ．
（2023·南京）
13．如图，在等腰三角形中，，，点为的中点．将线段绕点旋转，得到线段，连接，．当时，的长为 ．
（2023·重庆）
14．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ．
（2023·北京）
15．如图，在中，，，，E为上的点，将绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在的边上，当恰好为直角三角形时，的长为 ．
（2023·东北）
16．如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为 ．

（2023·甘肃）
17．如图，在△ABC中，，，，D为中点，E为直线上任意一点，将沿翻折，点A 落在点F 上，线段、线段交于点M，则当为直角三角形时，的长为 ．

（2023·四川）
18．如图所示，在矩形中，，．点P为边上一定点且，点Q为边上不与端点重合的一动点，将四边形沿翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接，则的长为 ．
（2023·厦门）
19．如图，在中，，点D为边上一动点，将沿过点D的直线折叠，使点C的对应点落在射线上，连接，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为 ．

（2024·江苏宿迁·模拟预测）
20．如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为 .

（2024·新疆·模拟预测）
21．如图，在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠，得到．若恰好落在射线上，则的长为 ．
22．如图，在钝角中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似．

23．如图在矩形中，，，平分交于点，过作交于点，将沿翻折得到，将绕点逆时针旋转角（其中），记旋转中的为，在旋转过程中，设直线分别与直线、直线交于点、，当时，线段长为 ．
（2024·兰州·一模）
24．若一个三角形的三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿所在直线折叠，得到，再将沿过点的直线折叠，使与重合，点的对应点为点，折痕与交于点．若是“勾股三角形”，则的长为 ．
（2024·苏州·一模）
25．如图，在边长为的菱形中，，点是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于点，则线段的长为 ．
（2024·河南平顶山·一模）
26．如图，在矩形纸片中，，，点为的中点，点在边上，连接，将矩形纸片沿着折叠，点、分别落在点、处，连接，当时，的长为 ．
27．如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
（2024·江苏盐城·一模）
28．如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形．

（2024·河南商丘·一模）
29．如图，中，，，，平分，将绕点A逆时针旋转得线段，连接、，当是直角三角形时，的长为 ．
（2024·河南洛阳·一模）
30．如图，在中，，点，分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为，若点落在上，且与相似，已知，，则的长为 ．
（2023·河南新乡·三模）
31．如图，在中，，点在上，，将线段绕点旋转得线段，连接．当点在直线上方，且到直线的距离为1时，的长为 ．

32．如图，在中，，，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ．

33．如图，在中，，点为斜边的中点，点为边上的一动点，沿着所在直线折叠，得到，当垂直于的直角边时，的长度为 ．

（2024·河南开封·一模）
34．如图，中，，，点D为边AC上的中点，点E为边上一个动点，将沿折叠，点C的对应点为点F，交的直角边于点G，当点G为直角边的中点时，则长为 ．
第一步：
利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
第二步：
结合相关图形的性质（三角形，四边形等）；
第三步：
运用勾股定理或者三角形相似建立方程．
第一步：
连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
第二步：
把连线按要求（顺/逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
第三步：
在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
第四步：
连接所得到的对应点．
第一步：
根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
第二步：
找出原图形的关键点；
第三步：
按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
第四步：
按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
第一步：
根据题意确定分类讨论的思路，等腰三角形或直角三角形分别以各顶点为直角顶点或等腰三角形顶点分类讨论；
第二步：
依据图形变化，画出对应图形；
第三步：
利用等腰三角形、直角三角形的性质并结合勾股定理或者相似进行求解；
第一步：
根据图形特点，结合运动特征，确定在运动变化过程中符合运动规律的固定点的位置；
第二步：
分析图中某些基本元素之间的位置关系，为计算最值提供解题的入口；
第三步：
分析图中的数量关系，寻求在运动变化过程中长度固定的线段，为两点间的距离最值计算做好准备．