甘肃省兰州市城关区志成中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份甘肃省兰州市城关区志成中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．卡西尼卵形线B．笛卡尔爱心曲线
C．费马螺线D．蝴蝶曲线
2．（3分）2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A．38.4×107B．3.84×108C．3.84×109D．0.384×109
3．（3分）下列方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④ax2+bx+c＝0，⑤x2+2x＝x2﹣1中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a＝a2D．（a3）2＝a5
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），y随x的增大而减小，且kb＞0，则它的图象经过的象限正确的是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是（ ）
A．0.4＜x＜0.5B．0.5＜x＜0.6C．0.6＜x＜0.7D．0.7＜x＜0.8
7．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5B．C．D．2
8．（3分）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90×2
C．x（x﹣1）＝90D．2x（x+1）＝90
10．（3分）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为x人，羊价y钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H（a，b）是图象上的最低点，则点H的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：2mx2﹣2my2＝ ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝ °．
16．（3分）为增强员工身体素质，营造“健康生活、快乐工作”的氛围，某公司开展了健步走计步打卡活动．以下统计图反映的是某位员工6月1日——14日连续两个星期健步走的步数．根据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①该员工这14天健步走的步数的众数和中位数都是1.8万步；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低2.0排名，6月7日所走步数在这14天中排名第三；
③若该员工6月1日——7日健步走的步数的方差记作，6月8日——14日健步走的步数的方差记作，则．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：×（2﹣3）．
18．（4分）解不等式组：．
19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
20．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；（公式法）
（2）3x2+6x﹣4＝0．（配方法）
21．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．
22．（6分）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下：
根据上述信息回答下列问题：
（1）求得a＝ ，b＝ ．
（2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是 ．
（3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分）
23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BA⊥AD，点E是线段AD上的一点，连接BE．
（1）在线段BC上求作一点F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，证明：四边形BFDE为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）．
解：（2）证明：在平行四边形ABCD中，
∵BA⊥AD，
∴① ，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在△ABE和△CDF，
，∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴ ，BE＝DF，
∴AD﹣AE＝CB﹣CF，
∴ ，
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．
24．（6分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
25．（7分）阅读下列材料，完成相应任务．
材料一：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为”当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+e＝0（a≠0）的两个根x1，x2有如下关系，x1x2＝ “此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二：若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，求的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，
∴，．
∴．
任务：
（1）材料理解：若一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）拓展应用：已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根．
①求m的取值范围；
②若此方程的两根分别为α，β，且aβ+α+β＝9，求m的值．
26．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上．将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F三点共线，若BG＝2EG．
（1）求证：矩形ABCD为正方形；
（2）若DF＝2，求BC的长．
27．（8分）综合与实践
小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E．
（1）【初步探究】如图①，请你探究线段DE，BD，CE之间的数量关系；
（2）【全等模型】如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E，则DE，BD，CE之间的数量关系为 ；
（3）【类比探究】如图③，在△ABC中，AB＝AC，直线MN经过点A，E，D，且∠BDM＝∠BAC＝∠DEC，请判断DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由．
28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点P，Q的“坐标直角三角形”．图1为点P，Q的“坐标直角三角形”示意图．如图2，点A的坐标为（1，2）．
（1）若点B的坐标为（﹣2，1），求点A，B的“坐标直角三角形”的面积；
（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线AC的表达式；
（3）点D在直线y＝2x+4上，且点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点D的坐标．
2024-2025学年甘肃省兰州市城关区志成中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．【解答】解：384000000＝3.84×108，
故选：B．
3．【解答】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程；
②2x2﹣5xy+y2＝0中含有两个未知数，故②不是一元二次方程；
③7x2+1＝0符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程；
④ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程化为bx+c＝0，不含二次项，故④不是一元二次方程；
⑤将x2+2x＝x2﹣1整理得：2x＝﹣1，不含二次项，故⑤不是一元二次方程．
综上，只有③是一元二次方程．
故选：A．
4．【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、a2•a3＝a2+3＝a5，原计算错误，不符合题意；
C、a3÷a＝a3﹣1＝a2，正确，符合题意；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
5．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＞0，
∴b＜0，
∴一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
6．【解答】解：∵x＝0.6时，x2+4x﹣3＝﹣0.24＜0；x＝0.7时，x2+4x﹣3＝0.29＞0，
∴当x取0.6～0.7之间的某一个数时，x2+4x﹣3＝0，
∴方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是0.6＜x＜0.7．
故选：C．
7．【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
8．【解答】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为＝，
故选：D．
9．【解答】解：设有x个球队参加比赛，
由题意可得：x（x﹣1）＝90．
故选：C．
10．【解答】解：设人数为x人，羊价y钱，
由题意可得：，
故选：B．
11．【解答】解：把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4，
则原方程为x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2＝14；
②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的14．
故选：B．
12．【解答】解：连接AP，作AE1⊥BC，垂足为E1，交BD于P1，
由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：AP＝CP，，
∴P1D＝2AP1，P1B＝2E1P1，
∴BD＝P1D+P1B＝2AP1+2E1P1＝2AE1，P1B＝2E1P1，
由三角形三边关系和垂线段最短知，PE+PC＝AP+PE≥AE≥AE1，
即PE+PC有最小值AE1，
菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，
在Rt△ABE1中，∠ABC＝60°，
解得，，
在Rt△AP1E1中，，
∵，
∴，
∵H（a，b）是图象上的最低点，
∴，
∴，，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．【解答】解：2mx2﹣2my2
＝2m（x2﹣y2）
＝2m（x+y）（x﹣y）．
14．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
15．【解答】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案为：50．
16．【解答】解：①将该员工这14天健步走的步数按从大到小的顺序排列为（单位：万步）：2.3，2.2，2.1，2.1，2.0，2.0，1.9，1.8，1.8，1.8，1.7，1.7，1.6，1.3，
在这组数据中，1.8出现了3次，次数最多，
∴这组数据的众数是1.8万步；
将这组数据按照从大到小的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是1.9，1.8，
∴这组数据的中位数是＝1.85（万步）．
故本结论错误，不符合题意；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低2.0排名，6月7日所走步数在这14天中排名第五．故本结论错误，不符合题意；
③根据折线统计图可知，该员工6月1日——7日健步走的步数偏离平均值的范围较大，所以方差较大，而6月8日——14日健步走的步数相对比较集中，偏离平均值的范围较小，所以方差较小，即，故本结论正确，符合题意；
故答案为：③．
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：原式＝×2﹣3×
＝2×﹣3
＝12﹣3
＝9．
18．【解答】解：，
由①得：x≥3，
由②得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为x≥3．
19．【解答】解：
＝
＝2﹣2a﹣1
＝1﹣2a，
当时，．
20．【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3x2+6x﹣4＝0，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
21．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB＝EF．
22．【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣10﹣9﹣10＝19，
女生总人数为：8÷16%＝50（名），
则b＝50﹣1﹣8﹣14﹣5＝22．
故答案为：19，22；
（2）由中位数的定义可知，被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是30＜x≤40．
故答案为：30＜x≤40；
（3）300×+200×
＝60+76
＝136（名）．
故估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136名．
23．【解答】解：（1）如图，点F为所作；
（2）理由如下：
在四边形ABCD为平行四边形中，
∵BA⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在△ABE和△CDF，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．
故答案为：∠A＝90°，AB＝CD，AE＝CF，DE＝BF．
24．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
25．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x＝1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣1．
故答案为：﹣2，﹣1；
（2）①∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得m≤；
②∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两根分别为α，β，
∴α+β＝1﹣2m，αβ＝m2，
∵aβ+α+β＝9，
∴1﹣2m+m2＝9，即m2﹣2m﹣8＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝4，
由①知m≤，
∴m＝﹣2．
26．【解答】（1）证明：由翻折得EA＝EG，ED＝EG，BG＝BA，
∴EA＝ED＝EG，
∴AD＝2ED＝2EG，
∵BG＝2EG，
∴AD＝BG，
∴AD＝BA，
∵四边形ABCD是矩形，且AD＝BA，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BG＝BA＝DC＝BC，
∵GF＝DF＝2，
∴BF＝BG+GF＝BC+2，CF＝CD﹣DF＝BC﹣2，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
∴BC2+（BC﹣2）2＝（BC+2）2，
解得BC＝8或BC＝0（不符合题意，舍去），
∴BC的长是8．
27．【解答】解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
∵OC＝BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD，CE＝OD，
∴CE＝OD＝DE+OE＝DE+BD，
即线段DE，BD，CE之间的数量关系为CE＝DE+BD；
（2）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
又∵AB＝CA，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE；
（3）CE＝DE+BD，理由如下：
∵∠BDM＝∠BAD+∠ABD，∠BAC＝∠BAD+∠CAE，∠BDM＝∠BAC，
∴∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵∠DEC＝∠ACE+∠CAE，∠BAC＝∠DEC，
∴∠ACE+∠CAE＝∠BAD+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAD，
又∵AB＝CA，
∴△ACE≌△BAD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝AD，
∵AD＝DE+AE，
∴CE＝DE+BD．
28．【解答】解：（1）由题意得：xA﹣xB＝1+2＝3，yA﹣yB＝2﹣1＝1，
则点A，B的“坐标直角三角形”的面积＝（xA﹣xB）×（yA﹣yB）＝3×1＝；
（2）设点C的坐标为（0，m），
∵点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
则|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，
解得：m＝3或1，
则设直线AC的表达式为：y＝kx+m，
将点A的坐标代入上式得：2＝k+m，
则k＝2﹣m＝﹣1或1，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）点D的坐标为：（m，2m+4），
∵点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
∴|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，
解得：m＝﹣3或﹣，
故点D的坐标为：（﹣3，﹣2）或（﹣，）．
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x2+4x﹣3
﹣1.24
﹣0.75
﹣0.24
0.29
0.84
40秒内垫球个数（x）
x≤20
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤45
x＞45
频数（男生）
2
10
a
9
10
频数（女生）
1
8
b
14
5