湖南省郴州市名校2024年数学九年级第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】

这是一份湖南省郴州市名校2024年数学九年级第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知点都在直线y=3x+b上，则的值的大小关系是( )
A．B．C．D．
2、（4分）匀速地向如图的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化，变化规律为一折线，下列图象（草图）正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）已知不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，则函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟后停止1分钟，然后继续注水，直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是 ( )
A．B．
C．D．
5、（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知函数y=kx-k的图象如图所示，则k的取值为( )
A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0
7、（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是( )
A．x≥0且x≠2B．x≥0C．x≠2D．x>2
8、（4分）如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD相交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．AO＝ODB．EF＝ADC．S△AEO＝S△AOFD．S△ABC＝2S△AEF
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10、（4分）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设秒后两车间的距离为千米，关于的函数关系如图所示，则甲车的速度是______米/秒．
11、（4分）在直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形、、，、、在直线上，点、、在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、，则的值为______用含n的代数式表示，n为正整数．
12、（4分）计算：(−)2=________；=_________．
13、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年的随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图A和图B，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽样的学生数是多少？A中值是多少？
（2）本次调查获取的样本数据的众数和中位数各是多少？
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
15、（8分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
16、（8分）请阅读，并完成填空与证明：
初二（8）、（9）班数学兴趣小组展示了他们小组探究发现的结果，内容为：图1，正三角形中，在，边上分别取，，使，连接，，发现利用“”证明≌，可得到，，再利用三角形的外角定理，可求得
（1）图2正方形中，在，边上分别取，，使，连接，，那么 ，且 度，请证明你的结论．
（2）图3正五边形中，在，边上分别取，，使，连接，，那么 ，且 度；
（3）请你大胆猜测在正边形中的结论：
17、（10分）为了满足学生的物质需求，我市某中学到红旗超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品.其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同.
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价-进价）不少于5200元，且不超5280元，问该红旗超市有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该红旗超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变.那么该红旗超市要获得最大利润应如何进货？
18、（10分）某港口P位于东西方向的海岸线上．在港口P北偏东25°方向上有一座小岛A，且距离港口20海里；在港口与小岛的东部海域上有一座灯塔B，△PAB恰好是等腰直角三角形，其中∠B是直角；
（1）在图中补全图形，画出灯塔B的位置；（保留作图痕迹）
（2）一艘货船C从港口P出发，以每小时15海里的速度，沿北偏西20°的方向航行，请求出1小时后该货船C与灯塔B的距离．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在正方形中，是对角线上的点，，，分别为垂足，连结. 设分别是的中点，，则的长为________。
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为、、、，根据以上规律写出的表达式______．
21、（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为________________.
22、（4分）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为__________．
23、（4分）如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知在等腰三角形中，是的中点，是内任意一点，连接,过点作, 交的延长线于点,延长到点,使得,连接.
（1）如图1,求证:四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，求证:且;
25、（10分）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和
排球，已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为160元.
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？
26、（12分）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
先根据直线y=1x+b判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】
解：∵直线y=1x+b，k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-2＜-1＜1，
∴y1＜y2＜y1．
故选：C．
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
2、C
【解析】
根据注水的容器可知最底层h上升较慢，中间层加快，最上一层更快，即可判断.
【详解】
∵匀速地向如图的容器内注水，
由注水的容器可知最底层底面积大，h上升较慢，中间层底面积较小，高度h上升加快，最上一层底面积最小，h上升速度最快，故选C.
此题主要考查函数图像的识别，解题的关键是根据题意找到对应的函数图像.
3、A
【解析】
根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴上方，然后对各选项分别进行判断．
【详解】
解：∵不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，
∴当x＜-2时，函数y=ax+b的函数值为正数，即直线y=ax+b的图象在x轴上方．
故选：A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4、D
【解析】
注水需要60÷10=6分钟，注水2分钟后停止注水1分钟，共经历6+1=7分钟，排除A、B；再根据停1分钟，再注水4分钟，排除C．
故选D．
5、B
【解析】
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
6、A
【解析】
根据一次函数的性质：当k＜0时，函数y=kx-k中y随着x的增加而减小，可确定k的取值范围，再根据图像与y轴的交点即可得出答案．
【详解】
由图象知：函数y=kx-k中y随着x的增大而减小，
所以k＜0，
∵交与y轴的正半轴，
∴-k＞0，
∴k＜0，
故选：A．
考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解图象与系数的关系，难度不大．对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交.
7、A
【解析】
由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x−1≠0，即x≥0且x≠1．故选A．
【考点】本题考查函数自变量的取值范围.
8、D
【解析】
根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．
【详解】
解：
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴EF BC ,
∵AD是斜边BC边上的中线，
∴AD=BC，
∴EF=AD，故选项B正确；
∵AE=BE，EO∥BD，
∴AO=OD，故选项A正确；
∵E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，
∴EO=BD，OF=DC，
∵BD=CD，
∴OE=OF，
又∵EF∥BC，
∴S△AEO=S△AOF，故选项C正确；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∵EF是Rt△ABC的中位线，
∴S△ABC：S△AEF=4：1，
即S△ABC=4S△AEF≠2S△AEF，故选D错误，
故选：D．
本题考查了三角形中位线定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质以及全等三角形的判断和性质，证明EO，OF是三角形的中位线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、A
【解析】
根据一元二次方程的根的定义,将根代入进行求解．
【详解】
∵x=−2是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得(−2)2+2k−6=0，
解此方程得到k=1.
故选：A.
考查一元二次方程根的定义，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，又叫做方程的根.
10、20
【解析】
试题分析：设甲车的速度是m米/秒，乙车的速度是n米/秒，根据题意及图形特征即可列方程组求解.
设甲车的速度是m米/秒，乙车的速度是n米/秒，由题意得
，解得
则甲车的速度是20米/秒．
考点：实际问题的函数图象，二元一次方程组的应用
点评：此类问题是初中数学的重点，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.
11、
【解析】
结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：，，，，结合三角形的面积公式即可得出：，，，，根据面积的变化可找出变化规律“为正整数”，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：令一次函数中，则，
点的坐标为，．
四边形为正整数均为正方形，
，，，．
令一次函数中，则，
即，
，
．
轴，
．
，，，．
，，，，
为正整数．
故答案为：．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、三角形的面积公式的知识，解题关键在于找到规律，此题属规律性题目，比较复杂．
12、5 π-1
【解析】
根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：5，π-1．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
13、
【解析】
先根据正方形的性质和轴对称的性质找出使PF+PE取得最小值的点，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】
∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，
∴点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，
∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2，
∴EG=.
故答案为.
本题考查了正方形的性质，轴对称之最短路径问题及勾股定理，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）40；15（2）众数为35，中位数为36；（3）60双
【解析】
（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为6＋12＋10＋8＋4＝40，图A中m的值为100−30−25−20−10＝15；
故本次随机抽样的学生数是40名，A中值是15；
（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
答：本次调查获取的样本数据的众数为35，中位数为36；
（3）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
答：建议购买35号运动鞋60双．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
15、24
【解析】
试题分析：阴影部分的面积等于以AC、BC为直径的半圆的面积加上△ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积.
试题解析：根据Rt△ABC的勾股定理可得：AB=10，则S==24
考点：勾股定理
16、（1）； ；证明详见解析；（2） ；；（3）对于正n边形，结论为：，
【解析】
（1）利用SAS证出≌，从而证出，，然后利用等量代换即可得出结论；
（2）先求出正五边形的每个内角的度数，利用SAS证出≌，从而证出，，然后利用等量代换即可得出结论；
（3）根据题意，画出图形，然后根据（1）（2）的方法推出结论即可．
【详解】
（1） ，且度．证明如下：
∵四边形是正方形
∴，
在△ABN和△DAM中
∴≌
∴，
∵
∴
故答案为：； ；
（2） 且度．证明如下：
正五边形的每个内角为：，
∴，
在△ABN和△EAM中
∴≌
∴，
∵
∴
故答案为：； ；
（3）设这个正n边形为，在，边上分别取，，使，连接，，和交于点O，如下图所示：
正n边形的每个内角为：，
∴，
在和中
∴≌
∴，
∵
∴
即对于正n边形，结论为：，．
此题考查的是全等三角形的判定及性质和多边形的内角和，掌握全等三角形的判定及性质和多边形的内角和公式是解决此题的关键．
17、（1）；（2）共有17种方案；（3）当时，有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，表示出乙种绿色袋装食品560袋．
【解析】
（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800-x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）依题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解；
（2）设购进甲种绿色袋装食品袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得，
解得：，
∵是正整数，，
∴共有17种方案；
（3）设总利润为，则，
①当时，，随的增大而增大，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品256袋，乙种绿色袋装食品544袋；
②当时，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，表示出乙种绿色袋装食品560袋．
本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合应用。
18、（1）如图，点B即为所求见解析；（2）出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里．
【解析】
（1）轨迹题意画出图形即可；
（2）首先证明∠CPB＝90°，求出PB、PC利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
（1）如图，点B即为所求
（2）如图，∠CPN＝20°，∠NPA＝25°，
∠APB＝45°，∠CPB＝90°
在Rt△ABP中，∵AP＝20，BA＝BP，
∴PB＝10
在Rt△PCB中，由勾股定理得，
CB＝＝＝5，
∴出发1小时后，货船C与灯塔B的距离为5海里．
此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2.1
【解析】
连接AG，CG，根据矩形的判定定理得到四边形CFGE是矩形，求得CG＝EF＝1，根据全等三角形的性质得到AG＝CG＝1，由三角形中位线的性质即可得到结论．
【详解】
连接AG，CG，
∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形CFGE是矩形，
∴CG＝EF＝1，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝41°，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG＝1，
∵M，N分别是AB，BG的中点，
∴MN＝AG＝2.1，
故答案为：2.1．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、
【解析】
根据正方形对角线等于边长的倍得出规律即可．
【详解】
由题意得，a1=1，
a2=a1=，
a3=a2=（）2，
a4=a3=（）3，
…，
an=an-1=（）n-1．
=[（）n-1]2=
故答案为：
本题主要考查了正方形的性质，熟记正方形对角线等于边长的倍是解题的关键，要注意的指数的变化规律．
21、1．
【解析】
∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE=AB=1，CE=BC−BE=6−2=1，
∵∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=1，
故答案为1．
本题考查了平移的性质,熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
22、
【解析】
根据函数图象与y轴的交点坐标和函数的增减性可直接解答．
【详解】
解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标为(0，3)，y随x的增大而减小，
∴当x>0时，y<3.
故答案为：y<3.
此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．
23、（，0）
【解析】
如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
【详解】
解：设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2，
∴平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，，解得，
∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2，
令y=0，则x=，∴P（，0）.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
（1）利用平行线的性质证明，即可解答
（2）连接，根据题意得出，再由（1）得出，得到是的中位线，即可解答
【详解】
（1）证明：.
是的中点，.
又，
（ASA）.
.
又，
四边形是平行四边形.
（2）证明：如图1，连接，
图1
是的中点，
.
.
.
由（1）知，
，又由（1）知，
.
，
是的中位线.
.
，
.
此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
25、（1）篮球和排球的单价分别是96元、64元.
（2）共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球11个；
③购买篮球28个，排球8个
【解析】
（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元．根据等量关系“单价和为80元”，列方程求解；
（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为（36-n）个．
根据不等关系：①购买的排球数少于11个；②不超过3200元的资金购买一批篮球和排球．列不等式组，进行求解.
【详解】
解：（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元
据题意得 x+x =160
解得 x=96
∴x =64即篮球和排球的单价分别是96元、64元.
（2）设购买的篮球数量为n,则购买的排球数量为（36-n）个
由题意得

解得2528
而n是整数，所以其取值为26,27,28，对应36-n的值为10，9，8，
所以共有三种购买方案：
①购买篮球26个，排球10个；
②购买篮球27个，排球11个；
③购买篮球28个，排球8个
26、（1）10a2（2a﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)
【解析】
分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a2即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，然后整理化简即可.
详解：（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）；
=4(4x+y)(x+4y) .
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
乙
进价（元/袋）
售价（元/袋）
20
13