湖南省长郡教育集团2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份湖南省长郡教育集团2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA ，M是OP的中点，DM=4 cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）cm．
A．7B．6C．5D．4
2、（4分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，C．2，4，5D．6，7，8
3、（4分）八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？
条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．
其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①④D．④
4、（4分）已知不等式mx+n＞2的解集是x＜0，则下列图中有可能是函数y=mx+n的图象的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）计算的的结果是（ ）
A．B．C．4D．16
6、（4分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+4B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣3（x+2）2+4D．y＝﹣3（x+2）2﹣2
7、（4分）如图，在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝100°，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
8、（4分）若一次函数的函数图像不经过第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______．
10、（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A(2，﹣3)关于x轴对称的点B的坐标是______.
11、（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6 BC=14， P、Q分别为BD、AC的中点，则PQ= ____.
12、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=2，S乙2=1.5，则射击成绩较稳定的是_____________（填“甲”或“乙“）．
13、（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣3）2﹣4（x﹣3）+4的值是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，一次函数y1=2x+2的图象与反比例函数y2= （k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，4），求点A的坐标及反比例函数的表达式．
15、（8分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别相交于点，与直线相交于点.
（1）求点的坐标；
（2）若平行于轴的直线交于直线于点，交直线于点，交轴于点，且，求的值；
（3）如图2，点是第四象限内一点，且，连接，探究与之间的位置关系，并证明你的结论.
16、（8分）我国南宋时期数学家秦九昭及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦—秦九昭公式：如果一个三角形的三条边分别为，记，那么三角形的面积为，请用此公式求解：在中，，，，求的面积.
17、（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：DE=AF；
（2）若AB=4，BG=3，求AF的长；
（3）如图2，连接DF、CE，判断线段DF与CE的位置关系并证明．
18、（10分）分解因式：
（1）. （2）.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）单位举行歌咏比赛,分两场举行,第一场8名参赛选手的平均成绩为88分,第二场4名参赛选手的平均成绩为94分,那么这12名选手的平均成绩是____分.
20、（4分）在等腰中，，，则底边上的高等于__________．
21、（4分）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
22、（4分）两个相似三角形的周长分别为8和6，若一个三角形的面积为36，则另一个三角形的面积为________.
23、（4分）若分式的值为0，则x =_________________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，求△BOC的周长为多大？
25、（10分）计算:
（1）
（2） -
26、（12分）第二届全国青年运动会将于2019年8月在太原开幕，这是山西历史上第一次举办全国大型综合性运动会，必将推动我市全民健康理念的提高.某体育用品商店近期购进甲、乙两种运动衫各50件，甲种用了2000元，乙种用了2400元.商店将甲种运动衫的销售单价定为60元，乙种运动衫的销售单价定为88元.该店销售一段时间后发现，甲种运动衫的销售不理想，于是将余下的运动衫按照七折销售；而乙种运动衫的销售价格不变.商店售完这两种运动衫至少可获利2460元，求甲种运动衫按原价销售件数的最小值.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而的到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．
【详解】
∵点P是∠AOB平分线上的一点，
∴
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故选：D．
本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
2、B
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、12+22≠32，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+12=（）2，故是直角三角形，故此选项正确；
C、22+42≠52，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、62+72≠82，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选B．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3、C
【解析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
解：当添加①④时，可得四边形AECF是平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∵BE＝DF
∴AD﹣DF＝BC﹣BE
∴AF＝EC，且AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形．
故选C．
本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4、B
【解析】
根据各选项图象找出mx+n＞2时x的取值范围，即可判断．
【详解】
A、不等式mx+n＞2的解集是x＞0，故选项错误；
B、不等式mx+n＞2的解集是x＜0，故选项正确；
C、不等式mx+n＞2的解集不是x＜0，故选项错误；
D、不等式mx+n＞2的解集不是x＜0，故选项错误．
故选：B．
此题考查的是利于一次函数图象判断不等式的解集，掌握一次函数的图象和不等式的解集之间的关系是解决此题的关键．
5、C
【解析】
根据算术平方根和平方根进行计算即可
【详解】
=4
故选：C
此题考查算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键
6、D
【解析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线y＝﹣3x1+1向左平移1个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）1+1；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+1）1+1﹣3，即y＝﹣3（x+1）1﹣1．
故选D．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7、D
【解析】
四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
8、D
【解析】
根据k=5＞0，函数图像经过一、三象限，b=1＞0，函数图像与y轴的正半轴相交，即可进行判断．
【详解】
根据k=5＞0，函数图像经过第一、三象限，b=1＞0，函数图像与y轴的正半轴相交，则一次函数的函数图像过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.
本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解决本题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可．
【详解】
解：360°−18°−18°＝144°，
180°−144°＝36°，
360°÷36°＝1．
故答案为1．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数＝360°是解题的关键．
10、（2,3）
【解析】
一个点关于x轴的对称点横坐标不变，纵坐标变为相反数.
【详解】
在平面直角坐标系xOy中，点A（2，－3）关于x轴对称的点B的坐标是（2，3），所以答案是（2，3）.
本题主要考查了关于x轴对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解答本题的关键.
11、1．
【解析】
首先连接DQ，并延长交BC于点E，易证得△ADQ≌△CEQ（ASA），即可求得DQ=EQ，CE=AD=6，继而可得PQ是△DBE的中位线，则可求得答案．
【详解】
解：连接DQ，并延长交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠ECQ，
在△ADQ和△CEQ中，
，
∴△ADQ≌△CEQ（ASA），
∴DQ=EQ，CE=AD=6，
∴BE=BC-CE=11-6=8，
∵BP=DP，
∴PQ=BE=1．
故答案为：1．
本题考查梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12、乙
【解析】
直接根据方差的意义求解．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x1-x¯）2+（x2-x¯）2+…+（xn-x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
解：∵S甲2=2，S乙2=1.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的射击成绩较稳定．
故答案为：乙．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
13、1
【解析】
将代入原式=（x-3-2）2=（x-1）2计算可得．
【详解】
当时，
原式
，
故答案为1．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、A的坐标是（1，4），y2＝．
【解析】
把y＝4代入y1＝2x＋2可求得A的横坐标，则A的坐标即可确定，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式．
【详解】
把y＝4代入y＝2x＋2，得2x＋2＝4，
解得：x＝1，
则A的坐标是（1，4）．
把（1，4）代入y2＝得：k＝1×4=4，
则反比例函数的解析式是：y2＝．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
15、（1）；（2）或；(3),理由见解析。
【解析】
（1）联立两函数即可求出C点坐标;
（2）根据题意写出M,D,E的坐标，再根据即可列式求解；
（3）过作，交的延长线于，设交于点，得到得为等腰直角三角形，再证明，故可得，即可求解.
【详解】
（1）联立，解得
∴
（2）
依题意得
解得或
(3),理由如下：
过作，交的延长线于，设交于点
易得为等腰直角三角形，
易得
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线、熟知一次函数的图像及全等三角形的判定与性质.
16、
【解析】
利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
【详解】
解：，，,
,
.
考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
17、（1）证明见解析；（2） ；（3）DF⊥CE；证明见解析．
【解析】
（1）先判断出∠AED=∠BFA=90°，再判断出∠BAF=∠ADE，进而利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，即可得出结论；
（2）先求出AG，再判断出△ABF∽△AGB，得出比例式即可得出结论；
（3）先判断出AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等，得出∠ADF=∠DCE，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF=DE；
（2）在Rt△ABG中，AB=4，BG=3，根据勾股定理得，AG=5，
∵BF⊥AG，
∴∠AFB=∠ABG=90°，
∵∠BAF=∠GAB，
∴△ABF∽△AGB，
∴，
即，
∴AF=；
（3）DF⊥CE，理由如下：
∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
在△FAD和△EDC中，
，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠CDF=90°，
∴DF⊥CE．
本题是四边形综合题，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．
（2）先用平方差公式分解，再化简即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式
.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，注意分解要彻底．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、90
【解析】
试题分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
该组数据的平均数=（8×88+4×94）÷（8+4）=90，
则这12名选手的平均成绩是90分.
考点：本题考查的是加权平均数的求法
点评：本题易出现的错误是求88，94这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
20、
【解析】
根据题意画出以下图形，然后根据等腰三角形性质得出BD=DC=1，进而利用勾股定理求出AD即可.
【详解】
如图所示，AB=AC=3，BC=2，AD为底边上的高，
根据等腰三角形性质易得：BD=CD=1，
∴在Rt△ADC中，=.
故答案为：.
本题主要考查了等腰三角形性质以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21、1
【解析】
根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【详解】
由题意得：当OA＝1时，OC＝14﹣1＝1＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：1．
本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
22、64或
【解析】
根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长分别为8和6，
∴两个相似三角形的周长之比为4：3，
∴两个相似三角形的相似比是4：3，
∴两个相似三角形的面积比是16：9，
又一个三角形的面积为36，
设另一个的面积为S，则16：9=S：36或16：9=36：S，
∴S=64或，
故答案为：64或．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
23、2
【解析】
根据分式值为0的条件进行求解即可.
【详解】
由题意，得x-2=0，
解得：x=2，
故答案为：2.
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握“分式值为0时，分子为0用分母不为0”是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、1
【解析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC+BD＝16，
∴OB+OC＝8，
∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+8＝1．
本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．
25、（1）；(2）
【解析】
分析：
（1）按照“二次根式加减法法则”进行计算即可；
（2）根据“二次根式相关运算的运算法则”结合“平方差公式和完全平方公式”进行计算即可.
详解：
（1）原式= ==；
（2）原式= = = .
点睛：熟记“二次根式的相关运算法则和平方差公式及完全平方公式”是解答本题的关键.
26、甲种运动衫按原价销售件数的最小值为20 件.
【解析】
设甲种运动衫按原价销售件数为x 件，根据商店售完这两种运动衫至少可获利2460元列不等式求解即可.
【详解】
解：设甲种运动衫按原价销售件数为x 件.
，
解得x ≥20，
答：甲种运动衫按原价销售件数的最小值为20 件.
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分