湖南省长沙市中学雅培粹中学2025届九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份湖南省长沙市中学雅培粹中学2025届九上数学开学综合测试模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，正方形的边长为2，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为.连接CF，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列计算结果正确的是
A．B．C．D．
3、（4分）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．
4、（4分）下列计算过程中，结果是2的是
A．B．C．D．
5、（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，11D．7，24，25
6、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的角平分线AF与AB的垂直平分线DF交于点F，连接CF，BF，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．45°
7、（4分）如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为( )cm2
A．4B．16C．12D．8
8、（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
①y＝﹣2x+1；②y＝6﹣x；③y＝-；④y＝（1﹣）x．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为_____．
10、（4分）将直线y=2x﹣2向右平移1个单位长度后所得直线的解析式为y=_____．
11、（4分）一组数据5,8，x,10,4的平均数是2x，则这组数据的中位数是___________.
12、（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，若DE＝3，BC＝6，AB＝8，则AE的长为____．
13、（4分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为菱形，这个条件可以是_____．（写出一种情况即可）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60．
（1）求证：ABAC；
（2）若DC＝2，求梯形ABCD的面积．
15、（8分）学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：
假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3 ∶3 ∶4 ，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。
16、（8分）如图，在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点.
（1）求的值及的面积；
（2）点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标；
（3）点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标.

17、（10分）如图，在▱ABCD中，AB=6，AC=10，BD=16，求△COD的周长．
18、（10分）两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，如图，请根据图中给出的数据信息，解答问题：
（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________.
20、（4分）已知，则_______.
21、（4分）若点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第 象限．
22、（4分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
23、（4分）已知m+3n的值为2，则﹣m﹣3n的值是__．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，等边三角形ABC的边长是6，点D、F分别是BC、AC上的动点，且BD＝CF，以AD为边作等边三角形ADE，连接BF、EF．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）连接DF，当BD的长为何值时，△CDF为直角三角形？
（3）设BD＝x，请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积．
25、（10分）请用合适的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
26、（12分）如图,正方形的边长为2, 边在轴上, 的中点与原点重合,过定点与动点的直线记作.
（1）若的解析式为，判断此时点是否在直线上，并说明理由；
（2）当直线与边有公共点时，求的取值范围.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，由勾股定理可求BE的长，由三角形面积公式可求AO的长，由折叠的性质可得AO=OH= ，AB=BF=2，由勾股定理可求BN，FN的长，由矩形的性质可求FM，MC的长，由勾股定理可求CF的长．
【详解】
解：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB,
∵AB∥CD，MN⊥AB,
∴MN⊥CD，
∵AB=2=AD，点E是AD中点,
∴AE=1，
∴EB=,
∵S△ABE=×AB×AE=×BE×AO,
∴2×1=AO,
∴AO=,
∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F,
∴AO=OH=，AB=BF=2，
∴AF=,
∵AF2-AN2=FN2，BF2-BN2=FN2，
∴AF2-AN2=BF2-BN2，
∴-（2-BN）2=4-BN2，
∴BN=,
∴FN=,
∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB=90°,
∴四边形MNBC是矩形,
∴BN=MC=，BC=MN=2,
∴MF=,
∴CF=.
故选：D．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，利用勾股定理列出等式求线段的长是本题的关键．
2、C
【解析】
根据二次根式的运算法则进行分析.
【详解】
A. ,不是同类二次根式，不能合并，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项正确；
D. ，本选项错误.
故选C
本题考核知识点：二次根式运算. 解题关键点：理解二次根式运算法则.
3、B
【解析】
首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.
【详解】
把x=1代入得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入得：y=,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,k),D(2,)
∴AC=k-1,BD=-，
∴S△OAC=（k-1）×1,
S△ABD= (-)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3;
故答案为B.
:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
4、C
【解析】
根据负指数幂运算法则、0次幂的运算法则、相反数的意义、绝对值的性质逐项进行判断即可得．
【详解】
解：A、原式，故不符合题意；
B、原式，故不符合题意；
C、原式=2，故符合题意；
D、原式，故不符合题意，
故选C．
本题考查了负指数幂、0次幂、相反数、绝对值等，熟练掌握各运算的运算法则以及相关的性质是解题的关键．
5、D
【解析】
将两短边的平方相加，与最长边的平方进行比较，由此即可得出结论．
【详解】
解：A、∵22+32＝13，42＝16，13≠16，
∴以2、3、4为边长的三角形不是直角三角形；
B、∵32+42＝25，62＝36，25≠36，
∴以3、4、6为边长的三角形不是直角三角形；
C、∵62+82＝100，112＝121，100≠121，
∴以6、8、11为边长的三角形不是直角三角形；
D、∵72+242＝625，252＝625，625＝625，
∴以7、24、24为边长的三角形是直角三角形．
故选：D．
本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
6、B
【解析】
根据线段垂直平分线的意义得FA=FB，由∠BAC=50°，得出∠ABC=∠ACB=65°，由角平分线的性质推知∠BAF=25°，∠FBE=40°，延长AF交BC于点E，AE⊥BC，根据等腰三角形的“三线合一”的性质得出：∠BFE=50°，∠CFE=50°，即可解出∠BCF的度数．
【详解】
延长∠BAC的角平分线AF交BC于点E，
∵AF与AB的垂直平分线DF交于点F，
∴FA=FB，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAF=25°，∠FBE=40°，
∴AE⊥BC，
∴∠CFE=∠BFE=50°，
∴∠BCF=∠FBE=40°．
故选：B．
本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质的内容是解答本题的关键．
7、D
【解析】
根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【详解】
根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=S正方形，
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴S阴影=×42=8cm2，
故选D．
本题考查了轴对称的性质，正方形的面积，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形的面积的一半是解题的关键．
8、D
【解析】
①中，k=-2<0；②中，k=-1<0；③中，k=-<0；④中，k=-<0.
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质，k<0时，y随x的增大而减小．
故①②③④都符合.
故选D.
点睛：本题考查一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、84°．
【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B＝32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180°−32°×3＝84°，
故答案为84°．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10、2x﹣4
【解析】
试题解析：从原直线上找一点（1，0），向右平移一个单位长度为（2，0），
它在新直线上，可设新直线的解析式为：，代入得
故所得直线的解析式为：
故答案为：
11、5
【解析】
可运用求平均数公式，求出x的值，再根据中位数的性质，求出中位数即可
【详解】
依题意得：5+8+x+10+4=2x×5
∴x=3，
∴3，4，5，8，10，的中位数是5
故答案为：5
此题考查算术平均数，中位数，难度不大
12、1
【解析】
根据已知条件可知△ADE∽△ACB，再通过两三角形的相似比可求出AE的长．
【详解】
解：∵∠AED=∠ABC，∠BAC=∠EAD
∴△AED∽△ABC
∴
又∵DE=3，BC=6，AB=8
∴AE=1．
13、AC⊥BD（答案不唯一）
【解析】
依据菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形．
故答案为AC⊥BD(答案不唯一).
本题主要考查菱形的判定，平行四边形的性质，熟悉掌握菱形判定条件是关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用等腰梯形的性质可求得，再利用平行的性质及等边对等角可求出，然后根据三角形内角和即可求出，从而得到结论；
（2）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质可求出BE、BC，根据勾股定理求出AE，然后利用面积公式进行计算即可．
【详解】
证明：（1）∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴．
本题考查了等腰梯形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边对等角及勾股定理，需要熟记基础的性质定理，熟练应用．
15、平均数分别为26.2 ，25.8 ，25.4 ，班长应当选.
【解析】
根据思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的不同权重，分别计算三人的加权平均分即可.
【详解】
解：根据思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3 ∶3 ∶4，可得思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的权重分别是0.3 ，0.3，0.4；
则班长的最终成绩为：；
学习委员的最终成绩为：；
团支部书记的最终成绩为：；
∵26.2 >25.8 >25.4
∴班长的最终成绩最高，
∴班长当选.
故答案为：平均数分别为26.2 ，25.8 ，25.4 ，班长应当选.
本题考查加权平均数的计算，比较简单，熟记加权平均数的计算方法是解题关键.
16、（1）K=- ,的面积=3；（2）（2，0）或（2-）或C3（-2,0）；（3）（4，-3）或（-4,9）.
【解析】
①将代入直线可得K=- ，的面积=OB·OA＝＝3.
②如详解图，分类讨论c1,c2,求坐标.
③如详解图，分类讨论p1,p2,求坐标.
【详解】
（1）将代入直线可得K=- ，点B坐标为（3,0），的面积=OB·OA·=2·3·=3.
②已知△ABC为等腰三角形，则AB=AC.可求出AB长为，以A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点有2个，易得C点坐标为C1（2，0）或C2（2-）.
以B为圆心，BA为半径画弧与x轴交点有一个，坐标为C3（-2,0）
③设P点坐标为（x,）
∵S△BAM=，∴P点在线段AB外.
若P在线段BA延长线上时，S△PBM=S△BAM+S△PAM
=
=
=3,x=4.
所以P坐标为（4，-3），
若P在线段AB延长线上，S△PBM=S△PAM－S△BAM=﹣
若﹣=3，x=-4,则P点为（-4,9）.
本题主要考察对称与函数方程的综合运用，能够根据图像求相关数据与方程是解题关键.
17、19
【解析】
根据平行四边形的性质可知对角线相互平分，，推出 即可推出周长.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，OC=AC=，OD=，
∴的周长．
本题主要考查了平行四边的性质，熟知平行四边形的对角线相互平分是解题关键.
18、（1）； （2）22.1
【解析】
（1）使用待定系数法列出方程组求解即可．
（2）把x=12代入（1）中的函数关系式，就可求解．
【详解】
（1）设函数关系式为y=kx+b，根据题意得

解得
∴y与x之间的函数关系式为y=1.1x+4.1．
（2）当x=12时，y=1.1×12+4.1=22.1．
∴桌面上12个整齐叠放的饭碗的高度是22.1cm．
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、南偏东30°
【解析】
直接得出AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.
【详解】
如图，
由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，
∵122+162=202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB=90°，
∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，
∴∠BPQ=30°，
∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行；
故答案为南偏东30°.
此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
20、
【解析】
先对变形，得到b=，然后将b=代入化简计算即可.
【详解】
解：由，b=
则
故答案为-2.
本题考查了已知等式，求另一代数式值的问题；其解答关键在于对代数式进行变形，寻找它们之间的联系
21、一
【解析】
试题分析：首先确定点M所处的象限，然后确定k的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案．
∵点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内， ∴点M（k﹣1，k+1）位于第三象限，
∴k﹣1＜0且k+1＜0， 解得：k＜﹣1，
∴y=（k﹣1）x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限
考点：一次函数的性质
22、
【解析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
23、．
【解析】
首先将原式变形，进而把已知代入，再利用二次根式的性质化简进而计算得出答案．
【详解】
解：∵m+3n=，
∴﹣m﹣3n
=
=
=，
故答案为：．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和整体代入思想的运用．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）BD＝2或4；（3）S△ADE＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）
【解析】
(1)：要证明四边形BDEF是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF，只要有△ABD全等△ACE，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD，再利用∠CFE＝60°＝∠ACB，就能平行，故第一问的证；
(2)：反推法，当△CDF为直角三角形，又因为∠C=60°，当∠CDF=90°时，可以知道
2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；
(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.
【详解】
解：（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，
∵BD＝CF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
∴BD＝CF，
如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∵BD＝EF，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）∵△CDF为直角三角形，
∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，
当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，
由（1）知，CF＝BD，
∴CD＝2BD，
即：BC＝3BD＝6，
∴BD＝2，
∴x＝2，
当∠CDF＝90°时，∵∠ACB＝60°，
∴∠CFD＝30°，
∴CF＝2CD，
∵CF＝BD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD＝6，
∴CD＝2，
∴x＝BD＝4，
即：BD＝2或4时，△CDF为直角三角形；
（3）如图，
连接CE，由（1）△ABD≌△ACE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∵BD＝CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EM＝CE＝x，
∴S△CDE＝CD×EM＝（6﹣x）×x＝x（6﹣x）
∴BH＝CH＝BC＝3，
∴AH＝3，
∴S△ABC＝BC•AH＝9
∴S△ADE＝S四边形ADCE﹣S△CDE
＝S△ACD+S△ACE﹣S△CDE
＝S△ACD+S△ABD﹣S△CDE
＝S△ABC﹣S△CDE
＝9﹣x（6﹣x）
＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）
第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功
第二问，主要考查推理能力，把△CFD为直角三角形当做条件，来求BD的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD的长，来证明△CFD为直角三角形，
第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积
25、（1），；（2），．
【解析】
（1）根据直接开平方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】
解：（1）
，
x=±2
∴，．
（2）
，
∴x+3=0或x-1=0
∴，．
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的应用．
26、（1）点在直线上，见解析；（2）的取值范围是.
【解析】
（1）把点A代入解析式，进而解答即可；
（2）求出直线经过点时的解析式，可知此时t的值，再根据（1）中解析式t的值可得取值范围．
【详解】
解：（1）此时点在直线上，
∵正方形的边长为2
∴
∵点为中点，
∴点，，
把点的横坐标代入解析式，得，等于点的纵坐标为2.
∴此时点在直线上.
（2）由题意可得，点及点，
当直线经过点时，设的解析式为（）
∴解得
∴的解析式为.
当时，
又由，可得当时，
∴当直线与边有公共点时，的取值范围是.
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，掌握判断点是否在直线上的方法以及利用待定系数法求解析式是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人