湖南长沙雅礼实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份湖南长沙雅礼实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝﹣2C．（x﹣2）2＝2D．（x﹣2）2＝6
2、（4分）如图，在中，已知，，平分交边于点，则边的长等于（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．12cm
3、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示.则每分的出水量是（ ）L．
A．5B．3.75C．4D．2.5
4、（4分）如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列三个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5、（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则﹣5+2a﹣2b的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6、（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）函数y=中，自变量的取值范围是（ ）．
A．B．C．且D．
8、（4分）已知一个多边形的每一个外角都是，则该多边形是（ ）
A．十二边形B．十边形C．八边形D．六边形.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，P（2，﹣3）关于x轴的对称点是_____
10、（4分）若分式的值为0，则x的值是_____．
11、（4分）分解因式：m2-9m=______．
12、（4分）如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝_____°．
13、（4分）若因式分解：__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元.第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元.
(1)设第二周每个纪念品降价元销售，则第二周售出 个纪念品(用含代数式表示);
(2)求第二周每个纪念品的售价是多少元?
15、（8分）先化简，再求值：，其中a=1+.
16、（8分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求这个电视塔的高度AB．(参考数据)．
17、（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的三个顶点都在格点上.
⑴ 在线段AC上找一点P（不能借助圆规），使得，画出点P的位置，并说明理由．
⑵ 求出⑴中线段PA的长度.
18、（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=" " °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果一组数据：5，，9，4的平均数为6，那么的值是_________
20、（4分）因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
21、（4分）如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．
22、（4分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是_____________.
23、（4分）一次函数y＝﹣x，函数值y随x的增大而_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y=x于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图）.
（1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边 MN 上的高为定值；
（4）设△MBN 的周长为 p，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出 p 的值.
25、（10分）为了庆祝即将到来的2018年国庆节，某校举行了书法比赛，赛后整理了参赛同学的成绩，并制作了如下两幅不完整的统计图表
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共调查了 名学生；表中的数m= ，n= ．
（2）请补全频数直方图；
（3）若绘制扇形统计图，则分数段60≤x＜70所对应的扇形的圆心角的度数是 ．
26、（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．
（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．
【详解】
解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
故选：C．
本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．
2、A
【解析】
首先根据平行四边形的性质，得出，，，进而得出∠DAE=∠AEB，然后得出∠BAE=∠AEB，根据等腰三角形的性质，即可得解.
【详解】
∵平行四边形ABCD
∴，，
∴∠DAE=∠AEB
又∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE
又∵，，
∴CD=4 cm
故答案为A.
此题主要考查平行四边形和等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
3、B
【解析】
观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量-每分钟增加的水量”即可算出结论．
【详解】
每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升）．
故选B．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关系列式计算．
4、B
【解析】
连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，于是得到结论．
【详解】
解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；
故选：B．
本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ABP≌△CBP，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
5、B
【解析】
先把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣3＝0得a﹣b＝3，再把﹣5+2a﹣2b变形为﹣5+2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣3＝0得a﹣b﹣3＝0，则a﹣b＝3，
所以﹣5+2a﹣2b＝﹣5+2（a﹣b）＝﹣5+2×3＝1．
故选B．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6、A
【解析】
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
A．是最简二次公式，故本选项正确；
B．=不是最简二次根式，故本选项错误；
C．=不是最简二次根式，故本选项错误；
D．=不是最简二次根式，故本选项错误．
故选A．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
7、D
【解析】
解:根据题意得x-2≠0,
解得x≠2.
故选D.
8、B
【解析】
多边形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【详解】
解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°=1．
故选：B．
本题考查多边形的外角和定理．熟练掌握多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（2，1）
【解析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【详解】
点P（2，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（2，1），
故答案为：2，1．
本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
10、-2
【解析】
根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
【详解】
解：由分式的值为2，得
x+2＝2且x﹣2≠2．
解得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为2，②分母的值不为2，这两个条件缺一不可．
11、m(m-9)
【解析】
直接提取公因式m即可．
【详解】
原式=m(m-9)．
故答案为：m(m-9)．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12、50°或90°
【解析】
分析：分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
详解：当AP⊥ON时，∠APO=90°，则∠A=50°，
当PA⊥OA时，∠A=90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．
故答案为50°或90°．
点睛：此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
13、
【解析】
应用提取公因式法，公因式x，再运用平方差公式，即可得解.
【详解】
解：
此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）8元。
【解析】
（1）根据题设条件计算即可.
（2）根据利润的计算公式，首先表示利润即可，再求解方程.
【详解】
解：（1）
（2）依题意，得：
整理，得
解之，得（不符合题意，舍去）
（元）
答：第二周每个纪念品的销售价为8元。
本题主要考查一元二次方程在利润计算中的应用，关键在于根据题意列方程.
15、原式=
【解析】
首先把除法化为乘法进行计算，再进一步相减，然后把a的值代入计算
【详解】
解：原式=
=
=
=
=
当a=1+.时，原式==
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分母有理化是解题的关键.
16、87.6米
【解析】
根据题意并结合图象运用解直角三角形中的勾股定理进行分析求解即可.
【详解】
解：由题意结合图象，
∵,
∴,
∵米，
∴CE=AE=100米，米，
∴AG (米)，
∵米，
∴AB86.6+1=87.6（米）.
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
17、 (1)详见解析；（2）线段PA的长度为.
【解析】
试题分析：
（1）利用方格纸可作出BC的垂直平分线交AC于点P，点P为所求的点，由线段垂直平分线的性质和勾股定理即可证明此时：PC2-PA2=AB2；
（2）由图中信息可得AB=4，AC=6，设PA=，则PC=PB=6-，在Rt△PAB中，由勾股定理建立方程解出即可.
试题解析：
⑴ 如图，利用方格纸作BC的垂直平分线，分别交AC、BC于点P、Q，则PC＝PB.
∵在△APB中，∠A＝90°，
∴，即： ，
∴ .
⑵ 由图可得：AC=6，AB=4，设PA=x，则PB=PC=6－x
∵在△PAB中，∠A＝90°，
∴ ，解得：，即PA=.
答：线段PA的长度为.
18、（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角即等于时，结论AM=MN仍然成立．
【详解】
(1)证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.
∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°，AB=BC.
∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB−AE=BC−MC=BM，
∴∠BEM=45°,
∴∠AEM=135°.
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°,
∴∠MCN=135°.
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN.
(2)结论AM=MN还成立
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.
在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°，AB=BC.
∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAE，
BE=AB−AE=BC−MC=BM，
∴∠BEM=60°,
∴∠AEM=120°.
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°,
∴∠MCN=120°.
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、6
【解析】
根据平均数的定义，即可求解.
【详解】
根据题意，得
解得
故答案为6.
此题主要考查平均数的求解，熟练掌握，即可解题.
20、n（m+n）1
【解析】
先提公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：m1n+1mn1+n3
＝n（m1+1mn+n1）
＝n（m+n）1．
故答案为：n（m+n）1
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
21、
【解析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可证△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得AF的长．
【详解】
解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，
∴DC=DE=5，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，
,
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=5-x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，
∴AF=AB-BF=2+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，
∴（2+x）2+32=（5-x）2，
∴x=
∴AF=2+=
故答案为：
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
22、（-3，-1）
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标为，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可解答.
【详解】
解：∵点Q与点P（3，﹣1）关于y轴对称，
∴Q（-3，-1）.
故答案为：（-3，-1）.
本题主要考查关于对称轴对称的点的坐标特征，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
23、减小
【解析】
根据其图象沿横轴的正方向的增减趋势，判断其增减性．
【详解】
解：因为一次函数y=中，k=
所以函数值y随x的增大而减小．
故答案是：减小．
考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（1）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为 1（2）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
【解析】
（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，易证∠MOH=25°，然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积．
（1）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，从而得到∠OME=∠OMN，然后根据角平分线的性质就可得到结论．
（2）由△OME≌△OMN（已证）可得ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=2，是定值．
【详解】
解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，
∵点M在直线y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH= =1，
∴∠MOH=25°．
∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了25°．
∵正方形OABC的边长为1，
∴OA=1．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 =0.5π．∵A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，∴OA 旋转了 25 度．
∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ．
（1）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=25°，∠BNM=∠BCA=25 度．
∴∠BMN=∠BNM．BM=BN．
又∵BA=BC，AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
∴△OAM ≌△OCN．∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM= 1/1（90°-25°）=11.5 度．
∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度．
（3）证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，
则∠AOE=25°-∠AOM，∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=1．
∴在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值．MN 边上的高为 1；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点，则∠AOE=25°-∠AOM，
∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=25°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．
故答案为：（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（1）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为 1（2）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、扇形的面积公式、等腰三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，有一定的综合性．而本题在图形旋转的过程中探究不变的量，渗透了变中有不变的辩证思想．
25、（1）200，90，0.30；（2）见解析；（3）54°．
【解析】
（1）用分组60≤x＜70的频数除以频率可得总数，用总数乘以0.45可求得m的值，用60除以总数可求得n的值；
（2）根据（1）中m的值画出直方图即可；
（3）根据圆心角=360°×百分比即可解决问题．
【详解】
解：（1）30÷0.15=200，
m=200×0.45=90，
n==0.30，
故答案为：200，90，0.30；
（2）频数直方图如图所示，
（3）360°×=54°，
故答案为：54°．
本题考查了频数分布表、频数分布直方图，读懂统计图表，从中得到必要的解题信息是解题的关键.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26、（1）y1＝|x|，图象见解析；（2）①±4；②答案见解析．
【解析】
（1）写出函数解析式，画出图象即可；
（2）①分两种情形考虑，求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题；②利用图象法分两种情形即可解决问题.
【详解】
（1）由题意y1＝|x|，函数图象如图所示：
（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，2），
∴2，
∴k＝4，
同法当点A在第二象限时，k＝﹣4，
②观察图象可知：当k＞0时，x＞2时，y1＞y2或x＜0时，y1＞y2．
当k＜0时，x＜﹣2时，y1＞y2或x＞0时，y1＞y2．
本题考查反比例函数图象上点的特征，正比例函数的应用等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
m
0.45
80≤x＜90
60
n
90≤x＜100
20
0.1