吉林省长春市汽车经济技术开发区2024年数学九上开学联考模拟试题【含答案】

这是一份吉林省长春市汽车经济技术开发区2024年数学九上开学联考模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞0C．k≥1D．k＜1
2、（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为底边在△ABC外部画等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S2甲=36，S2乙=30，则两组成绩的稳定性( )
A．甲组比乙组的成绩稳定B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定D．无法确定
4、（4分）如图，在中，D是BC边的中点，AE是的角平分线，于点E，连接DE，若，，则AC的长度是( )
A．5B．4C．3D．2
5、（4分）如图，在中，，，分别以AC，BC为边向外作正方形，两个正方形的面积分别记为，，则等于（ ）
A．30B．150C．200D．225
6、（4分）方程的解是
A．B．C．或D．或
7、（4分）甲、乙、丙、丁4对经过5轮选拔，平均分都相同，而方差依次为0.1、0.8、1.6、1.1．那么这4队中成绩最稳定的是（ ）
A．甲队B．乙队C．丙队D．丁队
8、（4分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则所有正方形的面积的和是 ．
A．28B．49C．98D．147
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___cm．
10、（4分）把直线y＝x－1向下平移后过点(3，－2)，则平移后所得直线的解析式为________．
11、（4分）如图，菱形ABCD中，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接DO，若∠BAC＝28°，则∠ODC＝_____．
12、（4分）若，，则=___________.
13、（4分）如图，，以点为圆心， 任意长为半径画弧， 交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧交于点，过点作射线，在射线上截取，过点作， 垂足为点， 则的长为________________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
15、（8分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形?请说明理由.
(2)填空:
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
16、（8分）先分解因式，再求值：，其中，．
17、（10分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝CE，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图．
(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；
(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．
18、（10分）如图，在白纸上画两条长度均为且夹角为的线段、，然后你把一支长度也为的铅笔放在线段上，将这支铅笔以线段上的一点为旋转中心旋转顺时针旋转一周．

图 ① 图 ②
（1）若与重合，当旋转角为______时，这支铅笔与线段、围成的三角形是等腰三角形．
（2）点从逐渐向移动，记：
①若，当旋转角为、______、______、______、、______时这支铅笔与线段、共围成6个等腰三角形．
②当这支铅笔与线段、正好围成5个等腰三角形时，求的取值范围．
③当这支铅笔与线段、正好围成3个等腰三角形时，直接写出的取值范围．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系．当x=36（kPa）时，y=108（g/m3），请写出y与x的函数关系式 ．
20、（4分）如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积为______。
21、（4分）某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是_______小时．
22、（4分）直线是由直线向上平移______个单位长度得到的一条直线．直线是由直线向右平移______个单位长度得到的一条直线．
23、（4分）分解因式：4－m2＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠1．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；（1）若∠BOC=110°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．
25、（10分）某学校八年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置—、二、三等奖和进步奖共四个奖项，赛后将八年级（1）班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请报据图中的信息，解答下列问题：

(1)八年级（1）班共有 名学生；
(2)将条形图补充完整；在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数 ；
(3)如果该八年级共有800名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.
26、（12分）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】
解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
2、B
【解析】
根据勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，再根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，
∴S1=AF2=AB2，S2=EC2=BC2，S3=AD2=AC2，
∴S2+S3＝BC2+AC2＝(BC2+AC2)＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
故选：B．
本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题关键．
3、B
【解析】
试题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．因此，
∵30＜36，∴乙组比甲组的成绩稳定．故选B．
4、A
【解析】
延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC，EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=1，即可得出结果．
【详解】
解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
∴△EAF≌△EAC（ASA），
∴AF=AC，EF=EC，
又∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=1DE=1．
∴AC=AF=AB-BF=7-1=5；
故选A．
此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
5、D
【解析】
在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出 的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
【详解】
解：如图
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，
∴由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=225，
则S1+S2=AC2+BC2=225，
故选：D．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6、C
【解析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：（x-2）2=3（x-2），
（x-2）2-3（x-2）=0，
（x-2）（x-2-3）=0，
x-2=0，x-2-3=0，
x1=2，x2=1．
故选C．
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7、A
【解析】
先比较四个队的方差的大小，根据方差的性质解答即可．
【详解】
解：甲、乙、丙、丁方差依次为0.1、0.8、1.6、1.1，所以这4队中成绩最稳定的是甲，
故选：A．
本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8、D
【解析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积等于E的面积，同理，C，D的面积的和是F的面积，E，F的面积的和是M的面积．即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：SA+SB=SE,SC+SD=SM,SE+SF=SM
所以，所有正方形的面积的和是正方形M的面积的3倍：即49×3=147cm1．
故选：D
理解正方形A，B的面积的和是E的面积是解决本题的关键．若把A，B，E换成形状相同的另外的图形，这种关系仍成立．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6
【解析】
∵l垂直平分BC，∴DB=DC．
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm
10、y＝x－2
【解析】
解：设直线向下平移了h个单位，y＝x－2-h,过(3，－2)，所以-2=3-2-h
所以h=-4
所以y＝x－2
故答案为：y＝x－2．
本题考查一次函数图象左右平移，上下平移方法，口诀“左加右减，上加下减”．
y=kx+b 左移2个单位，y=k（x+2）+b；
y=kx+b 右移2个单位，y=k（x-2）+b；
y=kx+b 上移2个单位，y=kx+b+2；
y=kx+b 下移2个单位，y=kx+b-2．
11、62°
【解析】
证明≌，根据全等三角形的性质得到AO=CO，根据菱形的性质有：AD=DC，根据等腰三角形三线合一的性质得到DO⊥AC，即∠DOC=90°.根据平行线的性质得到∠DCA=28°，根据三角形的内角和即可求解.
【详解】
四边形ABCD是菱形，
AD//BC,

在与中，
，
≌；
AO=CO，
AD=DC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°.
∵AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA.
∵∠BAC=28°，∠BAC=∠DCA.，
∴∠DCA=28°，
∴∠ODC=90°-28°=62°.
故答案为62°
考查菱形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等，比较基础，数形结合是解题的关键.
12、
【解析】
首先根据平方差公式进行变换，然后直接代入，即可得解.
【详解】
解：根据平方差公式，可得
=
将，，代入，得
原式==
故答案为.
此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
13、5cm
【解析】
根据角平分线的性质、RT△中，30°所对的直角边等于斜边的一般，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
OC为∠MON的角平分线，
∵，OC平分∠AOB，∴∠MOP=∠MON=30°,
∵，∴∠ODP=90°,
∵OP=10，
∴PD=OP=5，
故答案为：5cm．
本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
15、 (1)平行四边形，理由见解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=1．
【解析】
（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEB，可得AF=BD=CD，由平行四边形的判定可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）①由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是矩形；
②由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是正方形．
【详解】
解：(1)平行四边形
理由如下:∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DBE，
在ΔAFE与△DBE中
∴ΔAFE≌ΔDBE
∴AF=BD，
又BD=CD
∴AF=CD
又AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，且四边形AFCD是平行四边形
∴四边形AFCD是矩形；
②当△ABC满足AB=AC，∠BAC=1°条件时，四边形AFCD是正方形．
理由为：∵AB=AC，∠BAC=1°，AD是BC边上的中线
∴AD=CD=BD，AD⊥BC
∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC
∴四边形AFCD是矩形，且AD=CD
∴四边形AFCD是正方形．
故答案为：(1)平行四边形，理由见解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=1．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
16、，1
【解析】
先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，将，代入求解即可．
【详解】
解：
＝
＝
∵其中，
∴原式

＝1．
本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
17、作图见解析
【解析】
试题分析：（1）连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；
（2）连接AC，BD交于点F，连接EF，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠AEC的平分线．
试题解析：
（1）如图1所示．
；
（2）如图2所示．
．
考点：作图﹣基本作图
18、（1）或；（2）①、、、；②；③
【解析】
(1)运用旋转的性质作答即可;
(2)①对旋转的各个位置进行讨论，即可完成解答; 当旋转，，时，这段与、三次围成等腰三角形，这样正好围成6个等于三角形分类讨论即可；
【详解】
解：（1）当已知的30°角为底角，那么旋转30°即可；
当已知的30°角为顶角，那么旋转75°即可；
故答案为或.
（2）①t=1，即P为AB的中点:
当已知的30°角为底角，那么30°、120°、210°、300°即可；
当已知的30°角为顶角,那么旋转75°、255°即可；
故答案为:、、、
②如图1，位于中点时，分成了、两段，以点为旋转中心将其旋转，，时，这段与、三次围成等腰三角形，当旋转，，时这段与、三次围成等腰三角形，这样正好围成6个等于三角形，此时.
如图2，当旋转时，当（起初与重合的）正好与等长，即时，当旋转，，时较长的这段与、三次围成等腰三角形，当旋转，时较短的这段与、两次围成等腰三角形，
如图，，，，令，则，，易知，，，
此时可求得，，，
故旋转形成5个等腰三角形时，.
③如图：

当时，3个 ， 当时，4个 ，
可求得.
注：时可这样求解，如下图
在上取，使，则，，令，
则，，，，

本题属于一道旋转的几何综合题，难度较大，解答的关键在于对旋转的不同位置的分类讨论.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y=3x．
【解析】
试题分析：设y=kx，然后根据题意列出关系式．
依题意有：x=36（kPa）时，y=108（g/m3），
∴k=3，
故函数关系式为y=3x．
考点：根据实际问题列一次函数关系式．
20、36
【解析】
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】
连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= =5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD=13=169,CD+AC=12+5=144+25=169，
∴CD+AC=AD，
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB⋅BC+AC⋅CD=×3×4+×5×12=36，
故四边形ABCD的面积是36
此题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线
21、3
【解析】
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．本题利用加权平均数的公式即可求解．
【详解】
根据题意得：
这10名学生周末学习的平均时间=(1×1+2×2+4×3+2×4+1×5)÷10=3(小时)，
故答案为：3.
此题考查条形统计图、加权平均数，解题关键在于利用加权平均数公式即可.
22、2， 1.
【解析】
根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【详解】
解：直线是由直线向上平移 2个单位长度得到的一条直线．由直线向右平移 1个单位长度得到.
故答案是：2；1．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．
23、（2＋m）（2−m）
【解析】
原式利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式＝（2＋m）（2−m），
故答案为：（2＋m）（2−m）．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（1）
【解析】
（1）因为∠1=∠1，所以BO=CO，1BO=1CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
（1）在△BOC中，∠BOC=110°，则∠1=∠1=30°，AC=1AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．
【详解】
（1）证明：∵∠1=∠1，
∴BO=CO，即1BO=1CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD，
∴AC=1CO，BD=1BO，
∴AC=BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（1）在△BOC中，∵∠BOC=110°，
∴∠1=∠1=（180°-110°）÷1=30°，
∴在Rt△ABC中，AC=1AB=1×4=8（cm），
∴BC=(cm)．
∴四边形ABCD的面积=4(cm1)
此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．
25、（1）50；（2）见解析；57.6°；（3）368.
【解析】
（1）根据“不得奖”人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数乘以一等奖所占百分比可得其人数，补全图形，根据各项目百分比之和等于1求得二等奖所占百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以荣获一、二、三等奖的学生占总人数的百分比即可．
【详解】
解：（1）八年级（1）班共有 =50
(2)获一等奖人数为：50×10%=5(人)，
补全图形如下：
∵获“二等奖”人数所长百分比为1−50%−10%−20%−4%=16%，
“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是×16%=57.6，
（3）（名）
此题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键在于看懂图中数据
26、57+12﹣
【解析】
试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
试题解析：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）
=（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）
=（57+12﹣）（cm2）．
考点：二次根式的应用
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人