吉林省长春市榆树市第二实验中学2025届九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份吉林省长春市榆树市第二实验中学2025届九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列代数式属于分式的是( )
A．B．3yC．D．+y
2、（4分）下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB∥DC，则添加下列结论中的一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AO=COB．AC=BDC．AB=CDD．AD∥BC
4、（4分）一次函数y=﹣x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、（4分）直角三角形中，两直角边分别是和，则斜边上的中线长是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．不确定，与矩形的边长有关
7、（4分）一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）已知代数式－m2＋4m－4，无论m取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=2，S乙2=1.5，则射击成绩较稳定的是_____________（填“甲”或“乙“）．
10、（4分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝63°，则∠D＝_____．
11、（4分）在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，点 B 的坐标是3m, 4m 4，则OB 的最小值是____________.
12、（4分）若，是一元二次方程的两个根，则的值是_________．
13、（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BCD的内部交于点P；⑨连接CP并延长交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，则ABCD的周长等于_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知点在四边形的边上，设，，.
（1）试用向量、和表示向量，；
（2）在图中求作：.（不要求写出作法，只需写出结论即可）
15、（8分）平衡车越来越受到中学生的喜爱，某公司今年从厂家以3000元/辆的批发价购进某品牌平衡车300辆进行销售，零售价格为4200元/辆，暑期将至，公司决定拿出一部分该品牌平衡车以4000元/辆的价格进行促销．设全部售出获得的总利润为y元，今年暑假期间拿出促销的该品牌平衡车数量为x辆，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）若以促销价进行销售的数量不低于零售价销售数量的 ，该公司应拿出多少辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大？并求出最大利润．
16、（8分）某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题对全校学生进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，本次调查所得数据的众数是_______，中位数是________；
（2）请通过计算估计全校学生平均每人大约阅读多少部四大古典名著．
17、（10分）因式分解：
（1）； （2）.
18、（10分）用适当方法解方程：
（1）
（2）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
20、（4分）如图,已知：∠MON=30°,点A 、A 、A…在射线ON上,点B、B、B…在射线OM上,△ABA、△ABA、△ABA …均为等边三角形,若OA=1,则△A BA 的边长为____
21、（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=6，连接BD、CD、CE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN的面积最大值为_____．
22、（4分）计算-=_______.
23、（4分）已知函数，当时，函数值为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1、如图2均是边长为1的正方形网格，请按要求用实线画出顶点在格点上的图形。
(1)在图1上，画出一个面积最大的矩形ABCD，并求出它的面积；
(2)在图2上，画出一个菱形ABCD，并求出它的面积。
25、（10分）如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）证明：；
（2）若，求当形ABCD的周长；
（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形.
26、（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：A. 不是分式，故本选项错误，
B. 3y不是分式，故本选项错误，
C. 是分式，故本选项正确，
D. +y不是分式，故本选项错误，
故选：C.
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
2、B
【解析】
根据函数的定义即可解答.
【详解】
对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，
∵选项A、C、D ，当x取值时，y有唯一的值对应；选项B，当x=2时，y=±1，y由两个值，
∴选项B中，y不是x的函数.
故选B．
本题考查了函数的定义，熟练运用函数的定义是解决问题的关键,
3、B
【解析】
根据平行四边形的判定定理依次判断即可.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠ACD，
∵AO=CO，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确，且C正确；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D正确；
由AC=BD无法证明四边形ABCD是平行四边形，且平行四边形的对角线不一定相等，
∴B错误；
故选：B.
此题考查了添加一个条件证明四边形是平行四边形，正确掌握平行四边形的判定定理并运用解题是关键.
4、C
【解析】
根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
【详解】
∵一次函数y=﹣x+2中k=﹣1＜0，b=2＞0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．解答本类型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键．
5、C
【解析】
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边＝，
所以，斜边上的中线长＝×13＝6.1．
故选：C．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
6、C
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半求解．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
【详解】
如图，连接AC、BD．
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
7、D
【解析】
用因式分解法求解即可．
【详解】
解：x2+1x=0，
x(x+1)=0，
所以x=0或x+1=0，
解得：x1=0，x2=-1．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．
8、C
【解析】
直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可．
【详解】
∵－m2＋4m－4=-（m2-4m+4）=-（m-2）2，
（m-2）2≥0，
∴-（m-2）2≤0，
故选C．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、乙
【解析】
直接根据方差的意义求解．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x1-x¯）2+（x2-x¯）2+…+（xn-x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
解：∵S甲2=2，S乙2=1.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的射击成绩较稳定．
故答案为：乙．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
10、117°
【解析】
根据平行线的性质即可解答
【详解】
ABCD为平行四边形，
所以，AB∥DC，
所以，∠A＋∠D＝180°，
∠D＝180°－63°＝117°。
此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角等于180°
11、
【解析】
先用勾股定理求出OB的距离，然后用配方法即可求出最小值.
【详解】
∵点 B 的坐标是3m, 4m 4，O是原点，
∴OB=,
∵，
∴OB，
∴OB的最小值是，
故答案为.
本题考查勾股定理求两点间距离，其中用配方法求出最小值是本题的重难点.
12、6
【解析】
首先把提公因式进行因式分解得到，然后运用韦达定理，，最后代入求值.
【详解】
=
由韦达定理可知：代入得：
故答案为6
本题考查了一元二次方程两根之间的关系，由韦达定理可知，的两根为，则.
13、1
【解析】
首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
【详解】
解：由作图可知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形的周长为1，
故答案为1．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）.
【解析】
（1）由，，，直接利用三角形法则求解，即可求得答案；
（2）由三角形法则可得： ，继而可求得答案.
【详解】
解：（1）∵，，，
∴ ， ;
（2），如图：
此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
15、（1）y＝﹣200x+360000（0≤x≤300）；（2）公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大，最大利润为348000元．
【解析】
(1)根据“利润=售价-成本”结合“总利润=促销部分的利润+正常零售的利润”列式进行计算即可得；
(2)根据以促销价进行销售的数量不低于零售价销售数量的列出关于x的不等式，然后求出x的取值范围，继而根据一次函数的性质进行求解即可.
【详解】
(1)根据题意得：
y＝(4000﹣3000)x+(4200﹣3000)(300﹣x)＝﹣200x+360000(0≤x≤300)；
(2)根据题意得：x≥(300-x)，
解得x≥60，
由(1)可知，y＝﹣200x+360000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝60时，y的值增大，最大值为：﹣200×60+360000＝348000(元)，
答：公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最大，最大利润为348000元．
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，找准各量间的数量关系是解题的关键.
16、（1）图见解析，1部，2部；（2）2部
【解析】
（1）先利用阅读数量为2的人数及所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去阅读数量不是1部的人数和即可得出阅读数量是1部的人数，从而可补全条形统计图，然后利用众数和中位数的定义即可求解；
（2）利用平均数的求法计算即可．
【详解】
（1）总人数为（人），
∴阅读数量为1部的人数为（人），
条形统计图如图：
∵阅读1部的人数最多，为14人，
∴所得数据的众数为1部；
∵总人数是40人，处于中间的是第20，21个数据，而第20，21个数据都是2部，
∴中位数为（部）．
（2）（部）
∴全校学生平均每人大约阅读2部四大古典名著．
本题主要考查数据的分析与整理，掌握平均数，众数，中位数的求法是解题的关键．
17、 (1) （a-1）(a+1)；(1) 3（x-y）1．
【解析】
（1）直接提取公因式（a-1）即可；
（1）先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】
（1）a（a-1）+1(a-1)，
=（a-1）(a+1)；
（1）3x1-6xy+3y1
=3(x1-1xy+y1)
=3(x-y)1.
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18、（１）x1=1+，x2=1−；（２）x1=-1,x2=1．
【解析】
（１）在本题中，把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方，配方后即可解答．
（２）利用直接开方法得到，然后解两个一次方程即可．
【详解】
（１）解：由原方程移项，得x2-2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2−2x+1=5，
配方，得(x−1)2=5，
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1−．
（２）解：
或，
∴x1=-1,x2=1．
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
20、32
【解析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB∥AB∥AB，以及AB=2BA，得出AB=4BA=4，AB=8BA=8，AB=16BA…进而得出答案．
【详解】
∵△ABA是等边三角形，
∴AB=AB,∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA=AB=1，
∴AB=1，
∵△ABA、△BA是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴AB∥AB∥AB，
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°，
∴AB=2BA, AB=4BA，
∴AB=4BA=4，
AB=8BA=8，
AB=16BA=16，
以此类推：A B=32 BA=32.
故答案为：32
此题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB∥AB∥AB
21、31
【解析】
由题意可证△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN=PN1=BD1．可得BD最大时，△PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=6为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值．
【详解】
∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC，
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE．
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点，
∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD，
∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC．
设∠ACE=x°，∠ACD=y°，
∴∠ABD=x°，∠DBC=45°﹣x°=∠PNC，∠DCB=45°﹣y°，
∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC=45°﹣y°+45°﹣x°=90°﹣x°﹣y°，
∴∠MPN=90°且PN=PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，∴S△PMN=PN1=BD1，∴当BD最大时，△PMN的面积最大．
∵D是以A点为圆心，AD=6为半径的圆上一点，
∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大．
此时BD=AB+AD=16，
∴△PMN的面积最大值为31．
故答案为31．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22、2
【解析】
利用二次根式的减法法则计算即可.
【详解】
解：原式
故答案为：
本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题关键.
23、5
【解析】
根据x的值确定函数解析式代入求y值.
【详解】
解：因为>0,所以
故答案为5
本题考查了函数表达式，正确选择相应自变量范围内的函数表达式是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)10;(2)4
【解析】
(1) 根据要求画出矩形再求出面积即可；(2)根据要求画出菱形再求出面积即可.
【详解】
(1)如图1，四边形ABCD是面积最大的矩形
由勾股定理得，AB=，BC=2，矩形ABCD的面积=10
(2)如图2，四边形ABCD是菱形
由图可得，BD=2，AC=4，菱形ABCD的面积=4
本题考查了作图-应用与设计，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25、 (1)详见解析;(2)16;(3) 5.
【解析】
（1）连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判断出M是AD的中点，从而得证；
（2）判断出四边形FDBE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等求出BE，再求出AB，然后根据菱形的周长公式进行计算即可得解；
（3）根据两平行直线所截得到的三角形是相似三角形找出相似三角形即可．
【详解】
（1）连接BD，
∵菱形ABCD
∴
∵
∴
∵E为AB中点，
∴M为AD中点
∴
（2）菱形ABCD的周长为16；
（3）图中共有5对相似三角形.
本题考查相似三角形的判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和菱形的性质是解题关键.
26、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B2（4，－2），C2（1，－3）．
【解析】
试题分析：（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
试题解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人