湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

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（试卷满分150分，考试时间120分钟）
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.下列各式中：①；②；③；④；⑤⑥.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A.7 B.8 C.16 D.32
5.不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.2
7.若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
8.在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C.或 D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.对于实数，下列命题为假命题的有（ ）
A.若，则.
B.若，则.
C.若则.
D.若，则.
10.已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.的最小值为 D.
11.甲､乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，则（ ）
A.如果，则两个项目组同时完工
B.如果，则甲项目组先完工
C.如果，则甲项目组先完工
D.如果，则乙项目组先完工
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；）
12.命题的否定是__________.
13.已知集合，若，则实数__________.
14.已知集合，记非空集合中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是，则__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分；）
15.（13分）已知全集或.
（1）求；
（2）求.
16.（15分）设集合，集合.
（1）若，求和；
（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17.（15分）已知实数满足：.
（1）求和的最大值；
（2）求的最小值和最大值.
18.（17分）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”，随着光伏发电成本持续降低，光伏产业已摆脱了对终端电站补贴政策的依赖，转向由市场旺盛需求推动的模式，中国光伏产业已进入平价时代后的持续健康发展的成熟阶段，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节能环保，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下，当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
（1）用表示；
（2）该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值.
19.（17分）已知是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合的元素个数.
（1）若，求并判断集合是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求的值并说明理由；
（3）若存在是的恰当子集，并且，求的最大值.
邵阳二中2024—2025高一上学期第一次月考
数学试卷答案
1.B
【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.
【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，
其逆否命题为“若则”，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故选：B.
2.D
【分析】先化简集合，再利用交集运算即可得到答案
【详解】因为，
所以，
故选：D
3.B
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合､集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含､被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于､不属于关系，故错误；
②③正确.
故选：B.
4.B
【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数.
【详解】因为，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B.
5.C
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到的关系，再结合二次函数的性质判断即可.
【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C.
6.A
【分析】用换元法变形.然后由基本不等式得最小值.
【详解】因为，设，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：A
7.C
【解析】分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解.
【详解】将不等式化为，只需当时，min即可，
由
，
当且仅当时取等号，故，故m的最大值为9.
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围､基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题.
8.D
【分析】利用新定义可得关于的不等式化为，化为，通过对分类讨论即可得出.
【详解】解：由运算，
关于的不等式化为，
即，
①当时，其解集是，
由于其解集是的子集，
，解得.
②当时，其解集是，
由于其解集是的子集，
，解得.
③当时，其解集是，
由于其解集是的子集，，解得
综上可知：.实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题正确理解新定义和熟练掌握分类讨论的思想方法､一元二次不等式的解法､子集的含义是解题的关键，属于中档题.
9.ABD
【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题.
【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题；
对于B，若，当时，满足，即B为假命题；
对于C，由可得，易知，
所以，可得C为真命题；
对于D，由可得，
所以，因为的符号不确定，所以
不一定正确，即D为假命题；
故选：ABD
10.BD
【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等式得到，代入即可判断D.
【详解】对于A，，即，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，所以，则，
所以，
当时，取最小值，故C错误；
对于D，由得，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11.AC
【分析】设总工程量为1，计算出甲､乙两个项目组做工程的时间，利用作差法可得出结论.
【详解】设总工程量为1，
甲项目组在做工程的前一半时间内用速率工作，后一半用速率工作，
，
乙项目组在完成工程量的前一半中用速率工作，在后一半用速率工作，
，
当时，，即甲､乙项目组同时完工；
当时，，
，即甲项目组先完工，
故选：AC.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负.在所给不等式是积､商､幂的形式时，可考虑比商.
12.
【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.
【详解】命题“”的否定形式是“”.
故答案为：.
13.0
【分析】利用元素与集合的关系，得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为，
所以或，
当时，，此时，不满足互异性，舍去；
当时，或（舍去），此时，满足题意；
综上，.
故答案为：0.
14.3
【分析】先分析得，进而得到或，再分类讨论的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于的方程或不等式，从而得解.
【详解】对于，有，
所以集合中有两个元素，即，
因为，所以或
对于，易知必是方程中的一解，
当时，，所以有唯一解，且无解，
则，解得；
当时，若有唯一解，由上述分析可知无解，不满足题意；
若有两解，则有唯一解，
即，解得或；
综上，实数的所有可能取值为，则.
故答案为：3.
15.（1）；
（2）或
【分析】（1）直接利用集合的交集和并集运算求解即可；
（2）直接利用集合的交集和补集运算求解即可.
【详解】（1）因为全集，
所以.
（2）由题知，或，
所以或.
16.（1）
（2）.
【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.
【详解】（1），因为，所以，所以.
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，
当时，，得；
当时，.
解得，
所以实数的取值范围是.
17.（1）；
（2）最小值为6，最大值为30.
【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；
（2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.
【详解】（1），
，
当且仅当或时等号成立，的最大值为1，
，
，
，
，当且仅当时等号成立，的最大值为；
（2），
，即，
当且仅当或时等号成立，的最小值为6，
又，即，
当且仅当或时等号成立，
的最大值为30.
18.（1）.
（2），最小值为90万元.
【分析】（1）根据电费与的关系求，结合题意求；
（2）利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由题意可得，当时，，则，
所以该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和
.
（2）由（1），
当且仅当，即时，等号成立，
即该合作社应修建面积为的太阳能面板，可使最小，且最小值为90万元.
19.（1），集合是的恰当子集；
（2）或.
（3）10
【分析】（1）由定义求并判断集合是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，则有，列方程求的值并检验；
（3）证明时，存在是的恰当子集；当时，不存在是的恰当子集.
【详解】（1）若，有，由，则，
满足，集合是的恰当子集；
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，满足题意
；时，，此时，满足题意；
或.
（3）若存在是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在是的恰当子集，并且，则需满足，
由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足
当时，设，经检验没有这样的满足，
因此不存在是的恰当子集，并且，
所以存在是的恰当子集，并且的最大值为10.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
C
A
C
D
ABD
BD
题号
11
答案
AC