黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1．若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A． B．1 C． D．5
2．已知命题，命题，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
3．已知．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为次/分．某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，a，80，83，81，85，b平均数为80分且a，b是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ）
A．79 B．80 C．81 D．82
5．已知圆和，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ）
A．1 B． C． D．
8．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A．0 B．e C． D．1
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）
9．已知函数，以下四种变换方式能得到函数的图象的是（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
B．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度
C．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
D．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
10．已知抛物线，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（ ）
A．若为直角三角形，则圆的面积为2 B．
C．直线与抛物线C相切 D．直线与抛物线C有两个交点
11．已知函数，则（ ）
A．在单调递减，则 B．若，则函数存在2个极值点
C．若，则有三个零点 D．若在恒成立，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12．记为等差数列的前n项和，若，则____________．
13．已知角为锐角，，则的值为____________．
14．已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有____________个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为____________．
四、解答题（本题共5个大题，共77分）
15．（本题13分）
已知为锐角三角形，角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
16．（本题15分）
已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．（本题15分）
在梯形中，为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得（如图2）．
图1 图2
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（本题17分）
甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响．
（1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
（2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率．
①求；
②证明：．
19．（本题17分）
已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与x轴不重合的直线l与C交于两点，直线与交于点S，直线与交于点T．
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
（ii）求的面积的取值范围．
大庆中学2024---2025学年度上学期期中考试
高三年级数学答案
12．8 13． 14．256
15．（1）在中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为为锐角三角形，所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，，
所以
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，所以的取值范围为．
16．（1），由，得；由，得．
在上单调递增，在上单调递减．
的极小值为，无极大值．
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减．．
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
．
②当时，在上单调递增，．
．
17．（1）证明：∵在梯形中，为的中点，，
是正三角形，四边形为菱形，
，
，
又平面平面，
平面，∴平面平面．
（2）存在，，理由如下：
平面两两互相垂直，如图，以点O为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，
，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
设，
，
设与平面所成角为，则，
即，解得，
∴线段上存在点Q，且，使得与平面所成角的正弦值为．
18．（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，
∵乙的技术比丙高，
若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：
若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：
显然，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误．
（2）①
②考察，
分为情形一：第局甲输；
情形二：第局甲赢，局甲输
情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输
由题意分为三种情形，如下：
情形一 第n场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为．
情形二 第n场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为．
情形三 第n场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为．
由全概率公式得．①
因此．②
得，又因为，
所以当时，．
19．（1）由题意知：，解得，双曲线方程为．
（2）因为直线l斜率不为0，设直线l方程为，易知，设，
联立，得，
则，且，
（i）
；
（ii）由题可得：．
联立可得：，即，同理．
，
故，
且，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
A
D
C
C
B
A
BC
ABC
BCD