上海市松江二中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市松江二中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共11页。
2.如图，是的直观图，其中，则的面积是__________.
3.如图，四面体中，为的中点，设，则__________.（用表示）
4.设数列是等差数列，其前项和为，则__________.
5.若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.
6.如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为__________.
7.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
8.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为__________.
9.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与平面所成角的大小为__________（用反三角表示）
10.如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个.
11.已知四棱柱底面为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为__________.
12.已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是，则这两条直线的位置关系（ ）
A.必定相交 B.平行
C.必定异面 D.不可能平行
14.已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A.7 B. C.4 D.
15.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ）
A. B.
C. D.
16.一个五面体.已知，且两两之间距离为1.已知.则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在三棱柱中，侧棱平面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知空间三点.
（1）求的面积；
（2）若向量，且，求点的坐标.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是.
（1）求石凳的体积；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元）
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.
（1）已知，写出和的值；
（2）已知，求的最小值及此时的值；
（3）设，求证：；
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：.
（1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值；
（2）如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值；
（3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理.
2024~2025学年松江二中高二（上）10月月考数学试卷
一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】
4.【答案】36 5.【答案】 6.【答案】
7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】
10.【答案】5 11.【答案】
12.【答案】
【解】如图，分别作点关于平面的对称点.
易证当分别取直线与平面的交点时，周长最短，
且这个周长最小值为.
二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.【答案】D 14.【答案】A 15.【答案】B
16.【答案】C
【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得重合，
因为，且两两之间距离为1.，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，
侧棱长为，
，故选：C.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.【答案】（1）见解析；（2）4
【解】（1）证明：设与的交点为，连接
是的中点，是的中点，
平面平面平面
（2）取的中点，连接，直三棱柱中，平面，
而平面，故，
为的中点，且.
又，
平面平面.
另解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，则
，
，
平面的一个法向量为，
于是，且平面，故平面
（2）在（1）的基础上，，
平面的一个法向量为，
于是点到平面的距离为，
于是
18.【答案】（1）；（2）或
【解】（1）设向量的夹角为，由空间三点，
可得，，
可得，因为，所以，
所以三角形的面积为.
（2）因为，所以，其中，
因为，可得，
所以，
于是或，
即点的坐标为或
19.【答案】（1）；（2）元
【解】（1）正方体的体积为，
石登的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，
其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，
故一个小正三棱锥的体积为，
故石発的体积为
（2）石登的表面由6个正方形和8个正三角形组成，
其中正方形和正三角形的边长均为，
则石登的表面积为，
则粉刷一个石登需要元.
20.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解】（1），
故；2分
（2），于是
从而
（3）
因为，
所以，
所以，
所以.
21.【答案】（1）；（2）3；（3）见解析
【解析】（1）法1：取的中点，连接，如图所示，
则，于是是二面角的平面角，
设，则，
由余弦定理得，故
法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有，
计算得，故
（2）二面角的平面角的大小为，利用三面角余弦定理得
，计算得，
于是.
由于，则.
，
即当时，三棱锥体积的最大值为
（3）如图过射线上一点在面作交于点，
在面内作交于点，连接，
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则，
两边同除以，得：
，
从而得证.