贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了过点且垂直于直线的直线方程为，若函数的定义域为，且，则等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答亲标号.在试题卷上作答无效.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（ ）
A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件
3.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6.能力互不相同的3人应聘同一职位，他们按照报名顺序依次接受面试.公司经理决定“不录用第一个面试的人，如果第二个面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则录用第三个人”.记该公司录用到能力最强､中等､最弱的人的概率分别为，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点中心对称
D.函数的单调递减区间为
8.若函数的定义域为，且，则（ ）
A. B.0 C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A.参赛成绩的众数约为75分
B.用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人
C.参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
D.参赛成绩的平均分约为72.8分
10.若，则下列条件能使式子的最小值不小于1的是（ ）
A. B.
C. D.
11.在棱长为2的正方体中，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，四棱锥的体积为
B.当时，线段的长的最小值为
C.当时，线段的长的最小值为
D.当时，的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则__________.
13.如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.
14.若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
如图，已知四边形的四条边所在直线的方程分别为.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）求四边形的面积.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
在锐角三角形中，内角所对的边分别为.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
19.（本小题满分17分）
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离.
（1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积；
（2）在中，求证：；
（3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
贵阳一中2023级高二年级教学质量监测卷（一）
数学参考答案
第I卷（选择题，共58分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.，又，，故选C.
2.若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，甲是乙的充分条件；若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，甲不是乙的必要条件，甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选A.
3.所求直线与已知直线垂直，且已知直线的斜率为所求直线的斜率为所求直线的方程为，即，故选B.
4.，直线与所成角的余弦值是，故选C.
5.由三角函数的定义得，故选B.
6.设三人能力分别为强､中､弱，则三人参加面试的次序为：（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），（弱，强，中），共6种情况.按公司经理的录用原则，录用到能力最强的人包含的结果有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中），共3种；录用到能力中等的人包含的结果有：（强，弱，中），（弱，中，强），共2种；
录用到能力最弱的人的结果只有1种：（强，中，弱）.，故选A.
7.由图知，则，故A正确；由，得，，当时，对称轴为，故B正确；由，得，当时，对称中心为，故C正确；由，得，的单调递减区间为，故D错误，故选D.
8.令得，，又①，将替换为得②，由①+②得，将替换为得，将替换为得的周期为6.令，得.由（1）得，同理
，故选B.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.对于A：众数为，故A正确；对于B：内应抽取人，故B错误；对于C：分数在）内的频率为0.7，在）内的频率为0.9，因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确；对于D：平均数为，故D错误，故选AC.
10.对于A：若，则，故A错误；对于B：若，则，当且仅当时取得最小值1，故B正确；对于C：若，则，当且仅当时取得最小值，而，故C错误；对于D：若，则，，当且仅当时取得最小值，故D正确，故选BD.
11.对于A：如图1，当时，，则为
的中点，故A正确；对于B：如图2，当
时，，则在上，当为线段的中点时，线段的长最小，最小值是，故B错误；对于C：如图3，当时，则在平面内，线段的长的最小值即为点到平面的距离，由等体积法得点到平面的距离为，故C正确；对于如图4，当时，，则在正方形的中位线所在直线上，将平面和展于同一平面内，当且仅当三点共线时最小，最小值为，故D正确，故选ACD.
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.由题得.
13.如图，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，则光线所经过的路程为.
14.如图，由题知动点的轨迹是过的终点且垂直
的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，
的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径
.，
.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骓）
15.（本小题满分13分）
（1）证明：将和的方程化为截距式方程，得，
和的斜率相等且截距不等，
同理可得，
四边形是平行四边形
（2）解：由得
同理可得，
.
又直线与间的距离，
四边形的面积
16.（本小题满分15分）
（1）证明：由得，即的定义域为，
的定义域关于原点对称.
又，
函数是奇函数.
（2）解：和在上分别是增函数和减函数，
在上为增函数，
在上的最小值为.
由题知对恒成立，即对恒成立，
解得，
实数的取值范围是.
17.（本小题满分15分）
解：（1）由已知及正弦定理得
，即，
又.
（2）若，则，
，
又得，
，
，
的周长的取值范围为.
18.（本小题满分17分）
（1）证明：在图甲中，，
在图乙中，，
又平面平面，
平面，
又平面平面.
（2）解：由（1）可如图建立空间直角坐标系，则
，
.
设平面的法向量为，
则令，得.
设与平面所成角的大小为，
则，
，即与平面所成角的大小为
（3）解：.
设，则.
设平面的法向量为，
则令，得，
由题知，
解得或的值为或.
19.（本小题满分17分）
（1）解：设，则，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则.
如图，点的轨迹是一个边长为的正方形，
点的轨迹所围成的图形面积为.
（2）证明：设，
则
，
当且仅当且时等号成立，
在中，
（3）解：点到直线的距离为.
设，则，
当时，，又此时，满足题意；
当时，，
又且恒成立，当且仅当时等号成立.
综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
B
A
D
B
题号
9
10
11
答案
AC
BD
ACD
题号
12
13
14
答案
2