初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册9.12 完全平方公式优秀练习题

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分层练习
基础题
题型一 运用完全平方公式进行运算
1．（上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A．a+b2=a2+ab+b2B．a−3b2=a2−9b2
C．1+a2=a2+2a+1D．a+4a−4=a2−4
【答案】C
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、a+b2=a2+2ab+b2 ，故选项错误；
B、a−3b2=a2−6ab+9b2，故选项错误；
C、1+a2=a2+2a+1，故选项正确；
D、a+4a−4=a2−16，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
2．（上海青浦·七年级校考期末）如果多项式4x4+4x2+M是完全平方式，那么M不可能是（ ）
A．x6B．8x3C．1D．4
【答案】D
【详解】A.当M= x6时，原式=4x4+4x2+x6=(x3+2x)2,故正确；
B. 当M= 8x3时，原式=4x4+4x2+8x3=(2x2+2x)2,故正确；
C. 当M= 1时，原式=4x4+4x2+1=(2x2+1)2,故正确；
D. 当M= 4时，原式=4x4+4x2+4,不能变形为完全平方的形式，故不正确．
故选D.
3．（上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：a−2b−3c2= ．
【答案】a2−4ab+4b2−6ac+12bc+9c2
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式=[(a−2b)−3c]2
=(a−2b)2−2(a−2b)⋅3c+(3c)2
=a2−4ab+4b2−6ac+12bc+9c2．
故答案为：a2−4ab+4b2−6ac+12bc+9c2．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．
4．（上海普陀·七年级统考期中）计算：2x−y2= ．
【答案】4x2−4xy+y2
【分析】利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：2x−y2=4x2−4xy+y2，
故答案为：4x2−4xy+y2
【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．（上海浦东新·七年级校考期中）从这两个公式中，我们可以看到，完全平方公式的展开式由三项构成，分别是a2、b2和±2ab．现有一个多项式为x4+4x2，请你再添加一个单项式使其成为一个多项式的完全平方你可以添加哪几个单项式？请直接写出答案．
【答案】我可以添加4个单项式，它们是4，4x3，116x6和−4x3
【分析】根据完全平方的特点进行解答即可．
【详解】解：x4+4x2+4=(x2+2)2
x4+4x3+4x2=(x2+2x)2
x4−4x3+4x2=(x2−2x)2
4x2+x4+116x6=2x+14x32
所以，我可以添加4个单项式，它们是4，4x3，116x6和−4x3
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
题型二 通过对完全平方公式变形求值
1．（上海·七年级期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝bC．a＞bD．无法判断
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解
【详解】a＝2020×2021+1，
b＝20202﹣2020×2021+20212
＝（2020﹣2021）2+2020×2021
＝2020×2021+1，
故a＝b．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
2．（北京大兴·七年级统考期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+y2=( )
A．1B．7C．13D．25
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出x2+y2=(x+y)2−2xy，再代入求出即可．
【详解】解：∵x+y=5，xy=6，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×6=13，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．
3．（上海嘉定·七年级校考期中）已知x−y=3，x2+y2=29，那么xy= ．
【答案】10
【分析】根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：∵x−y=3，x2+y2=29，
∴x−y2−x2+y2=−2xy=9−29=−20
∴xy=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（上海宝山·七年级校考期中）已知：x2−3x+1=0，则x2+1x2= ．
【答案】7
【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解．
【详解】解：将方程x2−3x+1=0两边同时除以字母x得：x−3+1x=0，
∴x+1x=3
∴(x+1x)2=9
∴x2+2+1x2=9
∴x2+1x2=7
故答案为：7．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．
5．（上海黄浦·七年级统考期中）已知x−y=2，x2+y2=6，
(1)求代数式xy的值；
(2)求代数式x3y−3x2y2+xy3的值．
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据完全平方公式结合已知条件得出x2+y2−2xy=4，根据x2+y2=6得出6−2xy=4，求出xy的值即可；
（2）将x3y−3x2y2+xy3变形为xyx2−3xy+y2，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵x−y=2，
∴(x−y)2=4即x2+y2−2xy=4
又∵x2+y2=6，
∴6−2xy=4，
∴xy=1．
（2）解：x3y−3x2y2+xy3
=xyx2−3xy+y2
=1×6−3
=3
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用完全平方公式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2．
题型三 求完全平方式中的字母系数
1．（上海虹口·七年级校考期中）如果x2−6x+k（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6B．94C．32D．9
【答案】D
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵x2−6x+k（k是常数）是完全平方式，
∴x2−6x+k=x−32=x2−6x+9，
∴k=9，
故选D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
2．（上海·七年级校考期中）若多项式4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6或−6B．12或−12C．12D．−12
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【详解】解：∵4x2+mxy+9y2是完全平方式，
∴4x2+mxy+9y2= (2x)3±2⋅2x⋅3y+(3y)2
∴mxy=±12xy，
m=±12，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（上海青浦·七年级校考期中）如果二次三项式x2+ax+16是完全平方式，那么常数a的值为 ．
【答案】±8
【分析】根据完全平方式的特征进行计算即可．
【详解】解：根据完全平方式的特征，可知：a=±8，
故答案为：±8．
【点睛】本题考查完全平方式的相关知识．形如：a2+2ab+b2或a2−2ab+b2的式子称为完全平方式．本题属于易错知识点，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
4．（上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）如果二次三项式9x2−mx+1是完全平方式，那么常数m=
【答案】±6
【分析】根据完全平方公式的构成即可求得结果．
【详解】解：∵二次三项式9x2−mx+1=3x2−mx+12是完全平方式，
∴−mx=±2×1×3x=±6x，
∴m=±6，
故答案为：±6．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方公式是解题的关键：a±b2=a2±2ab+b2．
题型四 完全平方式在几何图形中的应用
1．（江苏·七年级期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2B．7cm2C．8cm2D．9cm2
【答案】C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
2．（浙江·七年级期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15B．17C．20D．22
【答案】B
【分析】用a，b的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可．
【详解】解：由题意可得：阴影部分面积=12(a−b)⋅a+12b2=12(a2+b2)−12ab．
∵a+b=10，ab=22，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×22=56，
∴阴影部分面积=12×56−12×22=28−11=17．
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的意义，适当的变形是解决问题的关键．
3．（安徽宿州·七年级统考期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系 ．

【答案】(a+b)2−(a−b)2=4ab
【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式．
【详解】解：图2中大正方形的面积为a+b2，阴影图形的面积为a−b2，四个小长方形的面积为ab，
∴(a+b)2−(a−b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab．
【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键．
4．（四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为 ．
【答案】14
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分面积，得到两个等式，从而计算出ab的值即可.
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，
在图1中，有：（a+b）2-3ab=39，
在图2中，有：（a+2b）（2a+b）-5ab=106，
分别整理得：a2+b2-ab=39，a2+b2=53，
将a2+b2=53代入a2+b2-ab=39中，
解得：ab=14，
故每个小长方形的面积为14，
故答案为：14.
【点睛】本题考查了整式与图形，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案．
5．（上海静安·七年级新中初级中学校考期末）如图，长方形ABCD的周长为20cm，面积为16cm2，以AB、AD为边向外作正方形ABGH和ADEF，求正方形ABGH和ADEF的面积之和．
【答案】正方形ABGH和ADEF的面积之和为68cm2．
【分析】先根据题意列出长方形ABCD关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．
【详解】解：设长方形ABCD的长为acm，则宽为bcm，
∵长方形ABCD的周长为20cm，面积为16cm2，
∴a+b=10，ab=16，
正方形ABGH和ADEF的面积之和为a2+b2，
∵a2+b2=a+b2−2ab=102−2×16=68cm2．
∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为68cm2．
【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．
题型五 整式的混合运算
1．（安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期末）已知m+n=2，则m2−n2+4n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据m+n=2可得m=2−n，再代入m2−n2+4n，化简即可得出结论．
【详解】解：∵m+n=2，
∴m=2−n，
∵m2−n2+4n
=2−n2−n2+4n
=4−4n+n2−n2+4n
=4，
∴m2−n2+4n的值是4．
故选：D．
【点睛】本题考查求代数式的值，完全平分公式，整式的混合运算，运用了整体代入的方法．掌握整式的运算法则是解题的关键．
2．（安徽池州·七年级统考期末）如果x2+xy−2=0，那么代数式x+y2+x−yx+y的值为 ．
【答案】4
【分析】先将条件x2+xy−2=0变形为x2+xy=2，再把x+y2+x−yx+y变形为2x2+xy，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵x2+xy−2=0，
∴x2+xy=2，
∴x+y2+x−yx+y
=x2+2xy+y2+x2−y2
=2x2+2xy
=2x2+xy
=2×2
=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
3．（安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）先化简，再求值：m+22m−1−m+12，其中m=−1．
【答案】m2+m−3，−3
【分析】先利用多项式乘多项式运算法则和完全平方公式化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：m+22m−1−m+12
=2m2−m+4m−2−m2+2m+1
=2m2+3m−2−m2−2m−1
=m2+m−3，
当m=−1时，
原式=−12+−1−3=−3．
【点睛】本题考查整式的化简求值，熟记完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．
题型六 完全平方公式在几何图形中的应用
1．（上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（ ）cm2．
A．25B．10aC．25+5aD．25+10a
【答案】D
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：(a+5)2−a2=10a+25，即新正方形的面积增加了25+10a cm2，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（上海普陀·七年级统考期中）如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6平方厘米B．8平方厘米C．9平方厘米D．10平方厘米
【答案】C
【分析】由完全平方公式，求出AB⋅AD的值，即可解决问题．
【详解】解：∵正方形ABGH和ADGH的面积之和为18，
∴AB2+AD2=18，
∵长方形ABCD的周长是12，
∴AB+AD=12×12=6，
∴AB+AD2=36，
∴AB2+AD2+2AB⋅AD=36，
∴AB⋅AD=9，
∴长方形ABCD的面积是9（平方厘米） ．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出AB与AD的积．
3．（山东济南·七年级统考期中）如图，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．根据图形，写出一个代数恒等式 ．

【答案】a+b2−a−b2=4ab
【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可．
【详解】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，
中间小正方形的边长为a−b，因此面积为(a−b)2，
阴影部分是4个长为a，宽为b的长方形组成的，因此面积为4ab，
所以有(a+b)2−(a−b)2=4ab．
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
4．（湖南株洲·七年级统考期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=6，a⋅b=8，则阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】根据阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，得出阴影部分面积为a2+b2−12a2−12ba+b，然后整理，得出12a+b2−3ab，然后把a+b=6，a⋅b=8整体代入计算即可．
【详解】解：∵a+b=6，a⋅b=8，
∴S=a2+b2−12a2−12ba+b
=a2+b2−12a2−12ab−12b2
=12a2+12b2−12ab
=12a2−ab+b2
=12a+b2−3ab
=1262−3×8
=12×12
=6，
∴阴影部分的面积为6．
故答案为：6
【点睛】本题考查了整式混合运算的应用、代数式求值、完全平方公式、求阴影部分的面积，解本题的关键在根据图形，得出阴影部分的面积．
5．（江苏苏州·七年级统考期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=5，ab=6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】3.5
【分析】用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部分面积．
【详解】解：S阴影=a2+b2−12a2−12ba+b
=12a2+b2−12ab
=12a+b2−32ab，
把a+b=5，ab=6代入得，
原式=12×25−32×6=3.5．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了完全平方式的变形，以及阴影部分面积的表示方法，解题的关键是列出阴影部分面积的表达式．
提升题
1．（湖南益阳·七年级校考期中）四张长为a，宽为b（a>b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a＋b的正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．a2+2b2B．2ab−b2C．2a2−b2D．a2+b2
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可．
【详解】解：由图知，阴影部分的面积
=(a+b)2−12×b×(a+b)−12a×b−12×b×(a+b)−12a×b−(a−b)2,
整理得阴影部分的面积=2ab-b2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．
2．（江苏盐城·七年级统考期中）已知多项式A=(m−3)2−(2−m)(2+m)+2．
(1)化简多项式A；
(2)若x2−2mx+4是一个完全平方式，求A的值．
【答案】(1)2m2−6m+7
(2)3或27
【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可；
（2）先根据完全平方式的定义求出m的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：A=(m−3)2−(2−m)(2+m)+2
=m2−6m+9−(4−m2)+2
=m2−6m+9−4+m2+2
=2m2−6m+7；
（2）∵x2−2mx+4是一个完全平方式，
∴−2m=±2×1×2，
∴m=±2．
当m=2时，A=2×22−6×2+7=8−12+7=3；
当m=−2时，A=2×(−2)2−6×(−2)+7=8+12+7=27．
故所求A的值为3或27．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键．
3．（重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的统一性．材料1：如图1，现有若干张3种不同型号的卡片：边长为a，b正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片；

材料2：用材料1中的卡片拼成图2（卡片间不重叠无缝隙），可以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”：a+b2=a2+2ab+b2．
验证如下：∴S正方形ABCD=2S长方形EGKD+S正方形AFGE+S正方形GHCK=2ab+a2+b2，
而S正方形ABCD=a+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2
(1)写出图3中所验证的等式：______；
(2)请利用材料1中的卡片，设计一个几何图形来计算a+ba+2b，并写出计算过程；
(3)用（1）中的等式解决下面问题：如图4，已知正方形ABCD的边长为a，M、F分别为AD、CD上的点，已知AM=4，CF=3，长方形MNFD的面积为6，分别以MN、MD为边作正方形，求阴影部分面积．

【答案】(1)a+b2=4ab+a−b2
(2)见解析
(3)2a−7
【分析】（1）根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可；
（3）根据正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：正方形的面积=a+b2=a2+2ab+b2，或正方形的面积=4ab+a−b2=a2+2ab+b2；
故a+b2=4ab+a−b2；
故答案为：a+b2=4ab+a−b2；
（2）如图，

a+ba+2b=a2+ab+2b2+2ab=a2+3ab+2b2；
（3）阴影部分面积=a−32−a−42=a−3+a−4a−3−a+4=2a−7．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．