初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册11.6 轴对称精品课时练习

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分层练习

基础题
题型1 轴对称的概念
1．如果是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高；B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线；D．某一个角的平分线
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线的轴对称判断即可；
【详解】如果是轴对称图形，则它的对称轴一定是平分一角和这个角对边的直线；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，准确分析判断是解题的关键．
2．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义求解即可．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
【详解】①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，选项正确，符合题意；
②线段是轴对称图形，选项正确，符合题意；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在直线对称，选项错误，不符合题意；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，选项错误，不符合题意．
∴正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
3．下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据图形变换的意义和性质作答．
【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；
B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；
C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；
D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；
故选D．
【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．
题型2 画轴对称图形
4．画出四边形关于直线的轴对称图形．
【答案】见解析．
【分析】找到对称轴，画出对应点，然后连接即可．
【详解】解：找对各点关于l的对称点，然后依次连接．
【点睛】本题考查作图—画轴对称图形，熟悉作法是解题关键．
5．画出四边形关于直线的轴对称的图形．
【答案】见详解
【分析】根据轴对称图形的特点直接作图即可．
【详解】作图如下：
四边形即为所求．
【点睛】此题主要考查轴对称图形的作法，根据已知分别作出A，B，C、D的关于l对称点是解决问题的关键．
6．如图，已知和直线，点在直线上．
(1)画出，使与关于直线成轴对称；
(2)画出，使与关于点成中心对称．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到；
（2）根据中心对称点平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接可得．
【详解】（1）解：即为所求；
；
（2）解：即为所求．
【点睛】本题考查了中心对称作图及轴对称作图的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及中心对称的性质．
7．按要求画图
(1)将三角形向上平移3格，得到三角形；
(2)将三角形绕点A旋转180度，得到三角形；
(3)如果三角形沿直线m翻折，点B落到点处，画出直线m，及翻折后的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；
（2）三角形绕点A旋转180度，找出的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据图形确定出变换即可．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
（3）如图所示
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，解题的关键是掌握作平移、轴对称和中心对称的图形的方法．
8．如图，已知三角形ABC、直线l，点O是线段AB的中点．（不写画法，保留画图痕迹，并写出画图结论）
（1）画出三角形ABC关于直线l的轴对称的图形；
（2）画出三角形ABC关于点O的中心对称的图形．
【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点F、H、G，再依次连接即可画出三角形ABC关于直线l的轴对称的图形；
（2）延长CO至E使OE=OC，则△ABE即为三角形ABC关于点O的中心对称的图形．
【详解】（1）如图所示，△ABC关于直线l的轴对称的图形为△FHG；
（2）如图所示，△ABC关于点O的中心对称的图形△BAE；
【点睛】本题考查的是作图-轴对称作图和作中心对称图形，熟知轴对称和中心对称的性质是解答此题的关键．
9．如图，在4×4的方格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与关于点中心对称的；
(2)在图2中画出与关于直线轴对称的；
(3)在图3中画出绕着点按顺时针方向旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据中心图形的定义，即可求解；
（2）根据轴对称图形的定义，即可求解；
（3）根据旋转图形的性质，即可求解
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
10．如图，点A、B、C都是格点（格点即每一个小正方形的顶点）．
（1）在图1中确定点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为轴对称图形（画一个即可）；
（2）在图2中确定点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形（画一个即可）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出一个符合题意的图形即可．
【详解】解：（1）如图1所示：
则四边形ABCD即为所求；
（2）如图2所示：
则四边形ABCE即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形是解题的关键．
题型3 轴对称在实际问题中的应用
11．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．

（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）=
【分析】（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论；
（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示
由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
综上：或；
（3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M
∴HM=FD，
由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键．
12．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图的顺序进行(其中阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长厘米，分别回答下列问题:
（1）如图①、图②，如果长方形纸条的宽为厘米，并且开始折叠时厘米，那么在图②中，____厘米．
（2）如图②，如果长方形纸条的宽为厘米，现在不但要折成图②的形状，还希望纸条两端超出点的部分和相等，使图②． 是轴对称图形，______厘米．
（3）如图④，如果长方形纸条的宽为厘米，希望纸条两端超出点的部分和相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离(结果用表示) ．
【答案】（1）16； （2）11； （3）
【分析】（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM；
（2）根据折叠的性质可得，，BE=纸条的长—宽—AM，即可求出AM的长；
（3）根据轴对称的性质，由图可得，继而可得在开始折叠时起点M与点A的距离．
【详解】（1）∵由折叠的性质可得，BE=纸条的长—宽—AM
∴图②中；
（2）∵，宽为4cm
∴BE=纸条的长—宽—AM
；
（3）∵图④为轴对称图形
∴
∴
即开始折叠时点M与点A的距离是厘米．
【点睛】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质是解题的关键．
13．如图1，长方形纸片ABCD（AD＞AB），点O位于边BC上，点E位于边AD上，将纸片沿OE折叠，点C、D的对应点分别为点C′、D′．
(1)当点C′与点A重合时，如图2，如果AD＝12，CD＝8，联结CE，那么△CDE的周长是 ；
(2)如果点F位于边AB上，将纸片沿OF折叠，点B的对应点为点B′．
①当点B′恰好落在线段OC′上时，如图3，那么∠EOF的度数为 ；（直接填写答案）
②当∠B′OC′＝20°时，作出图形，并写出∠EOF的度数．
【答案】(1)；
(2)①；②见解析，或80°
【分析】（1）证明DE+EC＝AD＝12，可得结论；
（2）①利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可；
②分两种情形，分别画出图形，利用角平分线的定义，平角的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图2中，点C′与点A重合时，
由翻折的性质可知，EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝12，
∴△CDE的周长＝DE+EC+CD＝12+8＝20．
故答案为：20；
（2）①如图，
由翻折的性质可知，∠BOF＝∠B′OF，∠EOC＝∠EOC′，
∵∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOB′+∠FOB′＝（∠COB′+∠BOB′）＝∠BOC＝90°．
故答案为：90°；
②如图，当OB′在OC′的下方时，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°﹣20°＝160°，
∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝×160°＝80°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′+∠B′OC′＝100°．
如图，当OB′在OC′的上方时，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°+20°＝200°，
∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝×200°＝100°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′﹣∠B′OC′＝80°．
综上所述，∠EOF的度数为100°或80°
【点睛】本题考查了折叠的性质，几何图形中角度的计算，分类讨论是解题的关键．
提升题
14．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝ ；
(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B′若∠EPB′与∠CPB′互为“互优角”，则∠BPE的度数为 ；
(3)再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C′．
①如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）；
②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE与∠CPF应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】(1)30°或150°
(2)40°或80°
(3)①80°②∠BPE与∠CPF的和为60°或100°或140°时，∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”．
【分析】（1）按照“互优角的定义，求出∠2即可；
（2）根据∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°解答即可；
（3）①由∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°解答即可；②∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°解答即可．
【详解】（1）解：∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1＝90°，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴90°﹣∠2＝60°或90°﹣∠2＝﹣60°，
解得：∠2＝30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）解：∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，
∴∠B′PC＝∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB＝∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC＝180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°，
解得：∠EPB′＝40°，
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，可得∠EPB′＝80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°．
（3）解：①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′PC＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC＝60°＝∠B′PF，
∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣60°，∠FPC＝∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，
∴∠EPF﹣60°+∠EPF+∠EPF＝180°，得∠EPF＝80°，
②按照①的证明方法即可，∠BPE与∠CPF的和为60°或100°或140°时，若∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”．
【点睛】本题主要考查了新定义、折叠以及角的运算等知识点，掌握折叠计算角的度数的方法是解答本题的关键．
15．同学们已经学过角平分线定义：如果一射线把一个角两等分，则这射线叫该角的平分线．类似：如图，射线把三等分，则射线叫三等分线．
（1）是的三等分线，则_______度
（2）如图，将一长方形纸片沿着对折（点是线段动点，点是线段动点）使点落在点、再将纸片沿着对折（点在线段或上动点）使点落在点，点在同一直线上，如果是的三等分线，求度数．
（3）如图，将一长方形纸片沿着对折（点是线段动点，点是线段动点）使点落在点、再将纸片沿着对折（点在线段或或上动点）使点落在点，点在同一直线上，如果射线中，其中一条射线是另两条射线组成的角的三等分线，求度数．
【答案】（1）或；（2）或；（3）或或
【分析】（1）根据三等分线的定义分情况讨论，或，即可求出结果；
（2）分两种情况讨论，点E在BC上，或点E在AB上，设，根据列式求出x的值即可；
（3）分三种情况讨论，点E在AB上，点E在BC上，点E在CD上，设出角度，利用折叠的性质列式求解即可．
【详解】解：（1）①如图，
∵OP是的三等分线，
∴；
②如图，
∵OP是的三等分线，
∴；
故答案是：或；
（2）①如图，点E在BC上，
设，
由折叠的性质得，
∵是的三等分线，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，解得，
∴；
②如图，点E在AB上，
设，则，
∵是的三等分线，
∴，
由折叠的性质得，
∵，
∴，解得，
∴，
综上，的度数是或；
（3）①如图，点E在AB上，
设，
∵是的三等分线，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
②如图，点E在BC上，
设，
∵是的三等分线，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
③如图，点E在CD上，
设，
∵，
∴，
∵是的三等分线，
∴，
∴，解得，
∴；
综上，的度数是或或．
【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是理解题目中三等分线的定义，利用折叠的性质进行角度求解，需要掌握分类讨论的思想．